221. Maximal Square

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221. Maximal Square

题目描述

在一个由 '0' 和 '1' 组成的二维矩阵内，找到只包含 '1' 的最大正方形，并返回其面积。

示例 1：

输入：matrix = [["1","0","1","0","0"],["1","0","1","1","1"],["1","1","1","1","1"],["1","0","0","1","0"]]
输出：4

示例 2：

输入：matrix = [["0","1"],["1","0"]]
输出：1

示例 3：
输入：matrix = [["0"]]
输出：0

题目分析

可以使用动态规划降低时间复杂度。我们用 dp(i,j) 表示以 (i,j) 为右下角，且只包含 1 的正方形的边长最大值。
如果我们能计算出所有 dp(i,j) 的值，那么其中的最大值即为矩阵中只包含 1 的正方形的边长最大值，其平方即为最大正方形的面积。

那么如何计算 dp 中的每个元素值呢？对于每个位置 (i,j)，检查在矩阵中该位置的值：

如果该位置的值是 0，则 dp(i,j)=0，因为当前位置不可能在由 1 组成的正方形中；

如果该位置的值是 1，则 dp(i,j) 的值由其上方、左方和左上方的三个相邻位置的 dp 值决定。
具体而言，当前位置的元素值等于三个相邻位置的元素中的最小值加 1，状态转移方程如下：
dp(i,j)=min(dp(i−1,j), dp(i−1,j−1), dp(i,j−1)) + 1

如果读者对这个状态转移方程感到不解，可以参考 1277. 统计全为 1 的正方形子矩阵的官方题解，其中给出了详细的证明。

此外，还需要考虑边界条件。如果 i 和 j 中至少有一个为 0，则以位置 (i,j) 为右下角的最大正方形的边长只能是 1，因此 dp(i,j)=1。

代码

class Solution {
public:
    int maximalSquare(vector<vector<char>>& matrix) {
        int m = matrix.size(), n = matrix[0].size();
        vector<vector<int>> dp(m, vector<int>(n, 0));

        int maxSide = 0;
        for(int i = 0; i < m; i++){
            for(int j = 0; j < n; j++){
                if(matrix[i][j] == '1'){
                    if(i == 0 || j == 0){
                        dp[i][j] = 1;
                    } else {
                        dp[i][j] = min(dp[i-1][j-1], min(dp[i][j-1], dp[i-1][j])) + 1;
                    }

                    maxSide = max(maxSide, dp[i][j]);
                }
            }
        }

        return maxSide*maxSide;
    }
};