142. Linked List Cycle II

这道题我原来是不会的，然后自己思考了一下，发现其实是个数学问题，虽然方法用的是双指针，但是我还是从数学层面进行解释吧。

这道题是在141. Linked List Cycle基础上的变形题，那道题就是用双指针法，一个快指针fast每次走两步，一个慢指针slow每次走一步，如果快指针能和慢指针相遇，则说明存在环。

我们首先看一下有环的情况，例如下面这个链表

这个右边我是故意画成这种环状的，看着比较清晰，其实和原题的链表是一样的。

首先我们必须清楚一点，如果存在环，快指针和慢指针一定是在环中的某个结点位置相遇的，不可能在环之外的结点处相遇。

我们假设环开始的结点下标为i（下标从0开始），对于上图，i=2。
同时，我们设整个链表长度为len，对于上图，len=8。

那么我们很容易知道，环的长度为len-i，我们记环的长度为circle，即circle = len-i。

现在我们假设，当快指针和慢指针相遇的时候，慢指针一共走了n步。现在问题是，走了n步的慢指针，它现在所处结点的下标是多少？

不难算出，走了n步之后，下标为:

X_slow = i+(n-i)%circle

前提当然是n≥i，因为我们刚才说了，快慢指针相遇一定是在环内，所以n≥i必然成立。

慢指针走了n步，快指针则走了2n步，因为快指针速度是慢指针的2倍。

同理，走了2n步的快指针，它所在结点的下标为：

X_fast = i+(2n-i)%circle

现在两者相遇了，意思就是说 X_slow = X_fast

于是有：i+(n-i)%circle = i+(2n-i)%circle，即 (n-i)%circle = (2n-i)%circle。

这就是一个简单的同余方程，有无数个解，解为：
(2n-i) = (n-i) + k*circle, k=1,2,3...

但是注意，我们所说的相遇是第一次相遇，那么这个解就唯一了，即：
(2n-i) = (n-i) + circle

即，n = circle

没想到吧，结论竟是如此的简单！

不信，你看看上面那幅图，图中circle=6（即圈中结点的个数），那么快指针和慢指针第一次相遇时，慢指针一定是走了6步，此时慢指针到了下标为6的位置。

事实上快指针走了2*6=12步，刚好也到下标为6的结点上面了。

现在问题是，我在得到了这个相遇的结点的下标后，我怎么找到环中第一个结点呢？也就是下标为i的结点。

我们不要忘了，第一次相遇，快指针是比慢指针刚好多走了一圈，有人说你怎么知道是刚好多走一圈，因为刚才那个同余方程的解我们是令k=1得到的，k=1就是说多走了一圈。

假设从相遇结点到下标为i的结点需要y步，那么从小标为i结点到相遇结点自然要走circle-y步，于是
2n = i+circle+circle-y
n = i+circle-y

我们消掉其中的n，就会得到
i = y

i=y说明了什么？

说明了在找到相遇位置后，让一个指针从整个链表的头部出发，另外一个指针从相遇位置出发，两个指针每次走一步，当他们相遇的时候，就正好到了i号结点位置，i号结点，就是题目要求我们求的结点。

由于这里我们下标是从0开始编号的，所以head到i号结点的距离（所需要走的步数）也正好是i。

于是我们可以给出如下代码：

class Solution {
public:
    ListNode *detectCycle(ListNode *head) {
        ListNode *slow = head, *fast = head;
        while (fast && fast->next) {
            slow = slow->next;
            fast = fast->next->next;
            if (slow == fast) break;
        }
        if (!fast || !fast->next) return NULL;
        slow = head;
        while (slow != fast) {
            slow = slow->next;
            fast = fast->next;
        }
        return fast;
    }
};