N个鸡蛋放进M个篮子问题

题目：
有N个鸡蛋和M个篮子，把鸡蛋放到M个篮子里，每个篮子都不能为空。另外，需要满足：任意一个小于N的正整数，都能由某几个篮子内蛋的数量相加的和得到。写出程序，使得输入一个(N,M)，输出所有可能的分配情况。

 

从题意中应该可以得出，对于(1,1,2,2)和(1,2,1,2)这两种组合，应该是一样的。
因而对于这M个篮子中的鸡蛋数量，我们用数组basket[M]来表示，我们按照非递减顺序进行排列，即basket[i] <= basket[i+1]

1.我们利用归纳法来总结出一个规律：
   对于前n个篮子，其鸡蛋数量总和为S_n，那么对于第n+1个篮子，其鸡蛋数量应该满足：
   basket[n+1] <= S_n + 1，如果basket[n+1] > S_n + 1，那么S_n + 1这个数将无法通过相应的篮子鸡蛋数相加来获得。
   由于是非递减序列，因而
   basket[n] <= basket[n+1] <= S_n + 1

 

2.我们来证明符合上式的数组能够满足条件“任意一个小于N的正整数，都能由某几个篮子内蛋的数量相加的和得到”。
   当M = 1时，basket[0] = 1，当M=2时，取basket[1] = 1，能够满足上述条件。
                                                         取basket[1] = 2，也能够满足上述条件。
   假设M = n-1时，满足上述条件，我们来证明当M = n时亦满足。
   前n-1个篮子的鸡蛋数量总和为S_n-1，此时加上第n个篮子，总和为S_n = S_n-1 + basket[n-1]。即证明S_n - 1，S_n - 2，S_n - 3，S_n - (basket[n-1] - 1)都可以由某几个篮子内蛋的数量相加的和得到。由于basket[n-1] <= S_n-1，而且小于或者等于S_n-1的数能由某几个篮子内蛋的数量相加的和得到，所以S_n - 1，S_n - 2，S_n - 3，S_n - (basket[n-1] - 1)亦可得到。
   证毕。

3.对于N和M的值，我们在输入后即可做一个判断。
   2.1  当N < M，明显有篮子为空，因而不符。
   2.2  当N >= M时，第一个篮子必然要放1个鸡蛋，其后面的篮子我们按照basket[n] <= basket[n+1] <= Sn + 1取最大值，依次为2,4,8,16......，鸡蛋总数为2^M - 1，即M个篮子的鸡蛋数量最大值。

   所以M <= N < 2^M

 

4.代码要点

   4.1 对于函数

void solve(int current_sum, int basket_id, int current_num, int* basket, int N, int M)

   其中current_sum表示当前所有篮子鸡蛋的总和，

         basket_id表示当前篮子的序号，
         current_num表示将要放到当前篮子去的鸡蛋数量，
         basket, N, M值都是main函数中的原值，在递归中这三个参数基本没变。
   初始化为(0, 0, 1, basket, N, M)表示此时所有鸡蛋数量为0，将要把1个鸡蛋放进第0个篮子里面。

   4.2 对于函数solve中的

    if ((current_sum + current_num*(M - basket_id)) > N || (current_sum + (current_sum + 1)*((1<<(M - basket_id)) - 1)) < N)
        return;

         我们采用的是搜索中的剪枝技术，即在每次递归时，通过预先判断来看此路是否走得通。

  (current_sum + current_num*(M - basket_id)) > N 表示之后的所有篮子都添加最小鸡蛋数量，如果这都大于N，那么肯定不符。

  (current_sum + (current_sum + 1)*((1<<(M - basket_id)) - 1)) < N  表示之后的所有篮子都添加相应的最大值，如果这都小于N，那么肯定也不符。     

        其中(current_sum + 1)*((1<<(M - basket_id)) - 1) 可以这样解释：

        假设前面的篮子总和为n，那么紧挨着的后一个篮子里鸡蛋数量最大值为n+1，其后的一个篮子最大值为n + (n + 1) + 1 = 2n + 2，这之后的一个篮子的最大值为n + (n + 1) + (2n + 2) + 1 = 4n + 4......（即这里取的都是S_n + 1）
        依次类推，我们发现n + 1 + (2n + 2) + (4n + 4) + ...... = (2^count - 1)*(n + 1)，count表示相应的篮子数量。

 

5.代码如下：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

void solve(int current_sum, int basket_id, int current_num, int* basket, int N, int M)
{
    if (current_sum == N && basket_id == M)
    {
        int i;
        for (i = 0; i < M; i++)
            printf("%d\t", basket[i]);
        printf("\n");
        return;
    }

    if (current_num > N || basket_id >= M)
        return;

    if ((current_sum + current_num*(M - basket_id)) > N || 
        (current_sum + (current_sum + 1)*((1<<(M - basket_id)) - 1)) < N)
        return;

    int j;
    for (j = current_num; j <= current_sum + 1; j++)
    {
        basket[basket_id] = j;
        solve(current_sum + j, basket_id + 1, j, basket, N, M);
    }
}

int main()
{
    int N;//the number of eggs
    int M;//the number of baskets
    while (scanf("%d%d", &N, &M) != EOF)
    {
        if (N < M || N >= 1<<M || M <= 0)
            printf("Wrong data!\n");
        else
            printf("The combinations are as below:\n");

        int* basket = (int*)malloc(sizeof(int)*M);
        solve(0, 0, 1, basket, N, M);
        free(basket);
    }
    return 0;
}

 

 1 #include <stdio.h>
 2 
 3 void solve(int current_sum, int basket_id, int current_num, int* basket, int N, int M)
 4 {
 5     if (current_sum == N && basket_id == M)
 6     {
 7         int i;
 8         for (i = 0; i < M; i++)
 9             printf("%d\t", basket[i]);
10         printf("\n");
11         return;
12     }
13 
14     if (current_num > N || basket_id >= M)
15         return;
16 
17     if ((current_sum + current_num*(M - basket_id)) > N || 
18         (current_sum + (current_sum + 1)*((1<<(M - basket_id)) - 1)) < N)
19         return;
20 
21     int j;
22     for (j = current_num; j <= current_sum + 1; j++)
23     {
24         basket[basket_id] = j;
25         solve(current_sum + j, basket_id + 1, j, basket, N, M);
26     }
27 }
28 
29 int main()
30 {
31     int N;//the number of eggs
32     int M;//the number of baskets
33     while (scanf("%d%d", &N, &M) != EOF)
34     {
35         if (N < M || N >= 1<<M || M <= 0)
36             printf("Wrong data!\n");
37         else
38             printf("The combinations are as below:\n");
39 
40         int* basket = new int[M];
41         solve(0, 0, 1, basket, N, M);
42         delete[] basket;
43     }
44     return 0;
45 }