种类并查集

目录:

  • 简介
  • 例题简析

一、简介

普通的并查集只能维护联通性,即朋友的朋友是朋友;但当我们要维护对立性的时候,即敌人的敌人是敌人,就需要种类并查集了。

种类并查集指将元素分为两个并查集,若是联通的,即两者是朋友,我们就将其放入同一个并查集中;若是对立的,即两者是敌人,我们就将其放入两个不同的并查集中。

但这时我们并不知道这两个元素应该属于A群系还是B群系,故我们在放入之前先判断一下。一开始放入哪个群系都没有关系,但在第二次合并的时候,就应该判断一下,若是朋友,就将其放入同一个并查集中;若是敌人,就将其放入不同的并查集中。


二、例题简析

  1. 三元种类并查集(P2024 [NOI2001]食物链

    Description:

    给定 \(n\) 个元素,有以下两种关系:

    • \(x\sim y\) (即表示x和y是同类)
    • \(x\rightarrow y\) (即表示x吃y)

    再给定 \(m\) 条语句,确定 \(n\) 个元素的关系,判断语句真假。

    Mothod:

    显然,我们可以发现,在x与y两个元素之间有三种关系:

    1. \(x \sim y\)
    2. $ x\rightarrow y$
    3. \(x \leftarrow y\)

    此时用上面介绍的二元种类并查集显然是不能实现的,因为这种并查集两种元素之间只有两种关系:联通与对立。

    但不能使用二元种类并查集,我们可以使用三元并查集啊。此时我们就将所有元素分为三个并查集,A群系表示最高级动物,B群系表示中间级动物,C群系表示最低级动物。此时恒有 \(A \rightarrow B\)\(B\rightarrow C\)

    那么如何合并元素呢?

    若是 $ x\sim y$ ,但我们不知道x和y到底属于哪个群系, 那么我们就将A,B,C群系中的每一个x与y都连接在一起。即 \(x_A\eqcirc y_A\) , \(x_B \eqcirc y_B\) , \(x_C \eqcirc y_C\) ( \(x_C\) 表示 \(x\in C\) , $\eqcirc $ 表示将左右两边的元素合并)。

    若是 \(x\rightarrow y\) ,我们同样不知道x和y到底属于那个群系,于是我们就按照先前定义的,群系A中的x与群系B中的y合并,另两者相似。即 \(x_A \eqcirc y_B\) , \(x_B \eqcirc y_C\) , $ x_C \eqcirc y_A$ 。

    有如何判断语句真假呢?首先可以确定一点,我们判断该语句为真很困难,即从正面判断很困难,正难则反,我们从反面来考虑。

    若是语句 \(x\sim y\) ,我们从反面判断,即判断是否是 \(x\rightarrow y\) 或者 \(x\leftarrow y\) 。即判断 \(x_A \eqcirc y_B\) 或者 \(y_A \eqcirc x_B\)

    若是语句 \(x \rightarrow y\) ,我们就判断是否是 \(x \sim y\) 或者 \(x\leftarrow y\) 。即判断 \(x_A \eqcirc y_A\) 或者 \(y_A \eqcirc x_B\)

    最后就是简单的模板题了。

    Code:

    #include<bits/stdc++.h>
    #define Maxn 50010
    using namespace std;
    inline void read(int &x)
    {
        int f=1;x=0;char ch=getchar();
        while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
        while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+(ch-'0');ch=getchar();}
        x*=f;
    }
    int fa[Maxn*3];
    inline int findf(int x)
    {
        if(fa[x]==x) return x;
        return fa[x]=findf(fa[x]);
    }
    int n,m;
    int ans=0;
    signed main()
    {
        read(n),read(m);
        for(int i=1;i<=3*n;i++) fa[i]=i;
        while(m--)
        {
            int opt;read(opt);
            int x,y;read(x),read(y);
            if(x>n||y>n){ans++;continue;}
            if(opt==1)
            {
                if(findf(x)==findf(y+n)||findf(y)==findf(x+n)) ans++;
                else
                {
                    fa[findf(y)]=findf(x);
                    fa[findf(y+n)]=findf(x+n);
                    fa[findf(y+2*n)]=findf(x+2*n);
                }
            }else if(opt==2)
            {
                if(findf(x)==findf(y)||findf(y)==findf(x+n)) ans++;
                else
                {
                    fa[findf(y+n)]=findf(x);
                    fa[findf(y+2*n)]=findf(x+n);
                    fa[findf(y)]=findf(x+2*n);
                }
            }
        }
        printf("%d\n",ans);
        return 0;
    }
    

    Warning:

    • 一定要把fa[i]初始化为i,而不是0。若初始化为0,在第一种操作中很容易没有判两个数相等的情况,这样就会导致一个数的爸爸是他自己然后引起无限递归。……卡了一下午。
    • 一定记得加上if(x>n||y>n){ans++;continue;},若编号大于n,直接跳出去。
posted @ 2020-01-13 14:44  nth_element  阅读(429)  评论(0编辑  收藏  举报