种类并查集

目录：

• 简介
• 例题简析

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一、简介

普通的并查集只能维护联通性，即朋友的朋友是朋友；但当我们要维护对立性的时候，即敌人的敌人是敌人，就需要种类并查集了。

种类并查集指将元素分为两个并查集，若是联通的，即两者是朋友，我们就将其放入同一个并查集中；若是对立的，即两者是敌人，我们就将其放入两个不同的并查集中。

但这时我们并不知道这两个元素应该属于A群系还是B群系，故我们在放入之前先判断一下。一开始放入哪个群系都没有关系，但在第二次合并的时候，就应该判断一下，若是朋友，就将其放入同一个并查集中；若是敌人，就将其放入不同的并查集中。

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二、例题简析

1. 三元种类并查集（P2024 [NOI2001]食物链）

   Description:

   给定 \(n\) 个元素，有以下两种关系：

   • \(x\sim y\) （即表示x和y是同类）
   • \(x\rightarrow y\) （即表示x吃y）

   再给定 \(m\) 条语句，确定 \(n\) 个元素的关系，判断语句真假。

   Mothod:

   显然，我们可以发现，在x与y两个元素之间有三种关系：

   1. \(x \sim y\)
   2. $ x\rightarrow y$
   3. \(x \leftarrow y\)

   此时用上面介绍的二元种类并查集显然是不能实现的，因为这种并查集两种元素之间只有两种关系：联通与对立。

   但不能使用二元种类并查集，我们可以使用三元并查集啊。此时我们就将所有元素分为三个并查集，A群系表示最高级动物，B群系表示中间级动物，C群系表示最低级动物。此时恒有 \(A \rightarrow B\)，\(B\rightarrow C\)。

   那么如何合并元素呢？

   若是 $ x\sim y$ ，但我们不知道x和y到底属于哪个群系， 那么我们就将A,B,C群系中的每一个x与y都连接在一起。即 \(x_A\eqcirc y_A\) , \(x_B \eqcirc y_B\) , \(x_C \eqcirc y_C\) ( \(x_C\) 表示 \(x\in C\) , $\eqcirc $ 表示将左右两边的元素合并)。

   若是 \(x\rightarrow y\) ，我们同样不知道x和y到底属于那个群系，于是我们就按照先前定义的，群系A中的x与群系B中的y合并，另两者相似。即 \(x_A \eqcirc y_B\) , \(x_B \eqcirc y_C\) , $ x_C \eqcirc y_A$ 。

   有如何判断语句真假呢？首先可以确定一点，我们判断该语句为真很困难，即从正面判断很困难，正难则反，我们从反面来考虑。

   若是语句 \(x\sim y\) ，我们从反面判断，即判断是否是 \(x\rightarrow y\) 或者 \(x\leftarrow y\) 。即判断 \(x_A \eqcirc y_B\) 或者 \(y_A \eqcirc x_B\) 。

   若是语句 \(x \rightarrow y\) ，我们就判断是否是 \(x \sim y\) 或者 \(x\leftarrow y\) 。即判断 \(x_A \eqcirc y_A\) 或者 \(y_A \eqcirc x_B\) 。

   最后就是简单的模板题了。

   Code:

   #include<bits/stdc++.h>
   #define Maxn 50010
   using namespace std;
   inline void read(int &x)
   {
       int f=1;x=0;char ch=getchar();
       while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
       while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+(ch-'0');ch=getchar();}
       x*=f;
   }
   int fa[Maxn*3];
   inline int findf(int x)
   {
       if(fa[x]==x) return x;
       return fa[x]=findf(fa[x]);
   }
   int n,m;
   int ans=0;
   signed main()
   {
       read(n),read(m);
       for(int i=1;i<=3*n;i++) fa[i]=i;
       while(m--)
       {
           int opt;read(opt);
           int x,y;read(x),read(y);
           if(x>n||y>n){ans++;continue;}
           if(opt==1)
           {
               if(findf(x)==findf(y+n)||findf(y)==findf(x+n)) ans++;
               else
               {
                   fa[findf(y)]=findf(x);
                   fa[findf(y+n)]=findf(x+n);
                   fa[findf(y+2*n)]=findf(x+2*n);
               }
           }else if(opt==2)
           {
               if(findf(x)==findf(y)||findf(y)==findf(x+n)) ans++;
               else
               {
                   fa[findf(y+n)]=findf(x);
                   fa[findf(y+2*n)]=findf(x+n);
                   fa[findf(y)]=findf(x+2*n);
               }
           }
       }
       printf("%d\n",ans);
       return 0;
   }
   

   Warning:

   • 一定要把fa[i]初始化为i，而不是0。若初始化为0，在第一种操作中很容易没有判两个数相等的情况，这样就会导致一个数的爸爸是他自己然后引起无限递归。……卡了一下午。
   • 一定记得加上if(x>n||y>n){ans++;continue;},若编号大于n，直接跳出去。