洛谷/Codeforces CF865D 题解
若想要深入学习反悔贪心,传送门。
Description:
已知接下来 \(n\) 天的股票价格,每天可以买入当天的股票,卖出已有的股票,或者什么都不做,求 \(n\) 天之后最大的利润。
Method:
我们可以快速想出一种贪心策略:买入价格最小的股票,在可以赚钱的当天卖出。
显然我们可以发现,上面的贪心策略是错误的,因为我们买入的股票可以等到可以赚最多的当天在卖出。
我们考虑设计一种反悔策略,使所有的贪心情况都可以得到全局最优解。(即设计反悔自动机的反悔策略)
定义 \(C_{buy}\) 为全局最优解中买入当天的价格, \(C_{sell}\) 为全局最优解中卖出当天的价格,则:
\[C_{sell}-C_{buy}=\left(C_{sell}-C_i\right)+\left(C_i-C_{buy}\right)
\]
\(C_i\) 为任意一天的股票价格。
即我们买价格最小的股票去卖价格最大的股票,以期得到最大的利润。我们先把当前的价格放入小根堆一次(这次是以上文的贪心策略贪心),判断当前的价格是否比堆顶大,若是比其大,我们就将差值计入全局最优解,再将当前的价格放入小根堆(这次是反悔操作)。相当于我们把当前的股票价格若不是最优解,就没有用,最后可以得到全局最优解。
上面的等式即被称为反悔自动机的反悔策略,因为我们并没有反复更新全局最优解,而是通过差值消去中间项的方法快速得到的全局最优解。
(假如还没有理解这道题,可以看一看代码,有详细的注释)
Code:
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
inline void read(int &x)
{
int f=1;x=0;char s=getchar();
while(s<'0'||s>'9'){if(s=='-')f=-1;s=getchar();}
while(s>='0'&&s<='9'){x=x*10+s-'0';s=getchar();}
x*=f;
}
priority_queue<int,vector<int>,greater<int> >qu;//开一个小根堆
int n;
int ans=0;//全局最优解
signed main()
{
read(n);
ans=0;
for(int i=1,x;i<=n;i++)
{
read(x);//当前的股票价格
qu.push(x);//贪心策略:买价格最小的股票去买价格最大的股票
if(!qu.empty()&&qu.top()<x)//假如当前的股票价格不是最优解
{
ans+=x-qu.top();//将差值计入全局最优解
qu.pop();//将已经统计的最小的股票价格丢出去
qu.push(x);//反悔策略:将当前的股票价格再放入堆中,即记录中间变量(等式中间无用的Ci)
}
}
printf("%lld\n",ans);//输出全局最优解
return 0;
}