洛谷P3834题解
若想要深入学习主席树,传送门。
Description:
给定数列 \(\{a_n\}\) ,求闭区间 \([l,r]\) 的第 \(k\) 小的数。
Method:
先对数据进行离散化,然后按照权值建立线段树。
若要寻找 \([1,p]\) 的第 \(k\) 小,则从根节点开始处理。定义\(Son_{left}\) 表示左儿子的集合,\(Son_{right}\) 表示右儿子的集合。若 \(|Son_{left}|\ge k\) 时,说明第\(k\)小的数在左子树中,以左儿子为新的根向下递归更新,寻找左子树中第 \(k\) 小的数;反之,说明第\(k\)小的数在右子树中,以左儿子为新的根向下递归更新,寻找左子树中第 \(k-|Son_{left}|\) 小的数。
拓展一下,我们先预处理建树,得到 \(n+1\) 个版本的线段树(包括初始的线段树),编号为 \(0 \sim n\) 。
前文提到过,主席树满足前缀和查询的思想,故我们要求 \([l,r]\) 的第 \(k\) 小值,即可用sum[r]-sum[l-1]
。
Code:
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define Maxn 200010
using namespace std;
inline void read(int &x)
{
int f=1;x=0;char s=getchar();
while(s<'0'||s>'9'){if(s=='-')f=-1;s=getchar();}
while(s>='0'&&s<='9'){x=x*10+s-'0';s=getchar();}
x*=f;
}
int n,m;
struct Segtree
{
int ls,rs,sum;
}tree[Maxn<<5];
int rt[Maxn];
int a[Maxn],ins[Maxn];
int len,tot=0;
inline void Init(){tot=0;}
inline int getid(const int &x)
{
return lower_bound(ins+1,ins+len+1,x)-ins;
}
inline void pushup(int rt)
{
tree[rt].sum=tree[tree[rt].ls].sum+tree[tree[rt].rs].sum;
}
inline int build(int l,int r)
{
int rt=++tot;
if(l==r)
{
tree[rt].sum=0;
return rt;
}
int mid=(l+r)/2;
tree[rt].ls=build(l,mid);
tree[rt].rs=build(mid+1,r);
pushup(rt);
return rt;
}
int update(int k,int l,int r,int root,int val)
{
int rt=++tot;
tree[rt]=tree[root];
if(l==k&&r==k)
{
tree[rt].sum+=val;
return rt;
}
int mid=(l+r)/2;
if(k<=mid) tree[rt].ls=update(k,l,mid,tree[rt].ls,val);
else tree[rt].rs=update(k,mid+1,r,tree[rt].rs,val);
pushup(rt);
return rt;
}
int query(int u,int v,int l,int r,int k)
{
if(l==r) return l;
int mid=(l+r)/2,x=tree[tree[v].ls].sum-tree[tree[u].ls].sum;
if(k<=x) return query(tree[u].ls,tree[v].ls,l,mid,k);
else return query(tree[u].rs,tree[v].rs,mid+1,r,k-x);
}
signed main()
{
Init();
read(n),read(m);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
read(a[i]);
}
memcpy(ins,a,sizeof(ins));
sort(ins+1,ins+n+1);
len=unique(ins+1,ins+n+1)-ins-1;
rt[0]=build(1,len);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
rt[i]=update(getid(a[i]),1,len,rt[i-1],1);
}
while(m--)
{
int l,r,k;
read(l),read(r),read(k);
printf("%lld\n",ins[query(rt[l-1],rt[r],1,len,k)]);
}
return 0;
}
Warning:
ls[]
,rs[]
,sum[]
等数组都要乘上 \(2^5\) 。- 离散化取
lower_bound
时,是最后减去0开头的地址,而不是1开头的地址。(即是lower_bound(ins+1,ins+n+1,x)-ins
,而不是lower_bound(ins+1,ins+n+1,x)-ins-1
) - 查询时递归右子树时查找第 \(k-|Son_{left}|\) 小,而不是 \(k\) 小。