主席树

目录：

  • 个人理解
  • 时空复杂度分析
  • 应用及例题
  • 拓展

一、个人理解：

主席树的全称是可持续化权值线段树，是一种可以维护静态区间第K小的高级数据结构。

主席树的主要思想就是：保存每次插入操作时的历史版本，以便查询区间第 \(k\) 小。

因为主席树每次都要插入操作，所以是不能用堆式建树的（rt<<1 ,rt<<1|1），所以我们使用动态开点线段树，并用ls[]和rs[]保存当前节点的左右儿子。

联系前缀和，可以预处理达到 \(O(1)\) 的时间复杂度。我们发现主席树也满足这个性质，所以若需要统计 \([l,r]\) 的信息，只需要 \(O(1)\) 查询sum[r]-sum[l-1]即可。

二、时空复杂度分析：

  1. 时间复杂度：

    同线段树的时间复杂度：\(O(n\text{log}n)\)

  2. 空间复杂度：

    我们是动态开点，所以一颗线段树只会出现 \(2n-1\) 个节点，而每次插入会增加 \(O(n\text{log}n)\) 个节点，则最坏情况下会有 \(2n-1+O(n\text{log}n)\) 个节点。故空间复杂度为：\(O(n\text{log}n)\) 。

    在实际运用的时候，ls[],rs[],sum[]等数组都需要开 \(2^5\) 倍空间，即MAXN<<5(MAXN为 \(n\) 的值域)。

    注：在常数上减小内存消耗：

    插入值时候先不要一次新建到底，能留住就留住，等到需要访问子节点时候再建下去。

    这样理论内存复杂度依然是\(O(n\text{log}n)\)，但因为实际上很多结点在查询时候根本没用到，所以内存能少用一些。

    ————cyendra

三、应用及例题：

  1. 静态区间第K小(P3834 【模板】可持久化线段树 1（主席树）)

    Description:

    给定数列 \(\{a_n\}\) ,求闭区间 \([l,r]\) 的第 \(k\) 小的数。

    Method:

    先对数据进行离散化，然后按照权值建立线段树。

    若要寻找 \([1,p]\) 的第 \(k\) 小，则从根节点开始处理。定义\(Son_{left}\) 表示左儿子的集合，\(Son_{right}\) 表示右儿子的集合。若 \(|Son_{left}|\ge k\) 时，说明第\(k\)小的数在左子树中，以左儿子为新的根向下递归更新，寻找左子树中第 \(k\) 小的数；反之，说明第\(k\)小的数在右子树中，以左儿子为新的根向下递归更新，寻找左子树中第 \(k-|Son_{left}|\) 小的数。

    拓展一下，我们先预处理建树，得到 \(n+1\) 个版本的线段树（包括初始的线段树），编号为 \(0 \sim n\) 。

    前文提到过，主席树满足前缀和查询的思想，故我们要求 \([l,r]\) 的第 \(k\) 小值，即可用sum[r]-sum[l-1]。

    Code:

    #include<bits/stdc++.h>
#define int long long 
#define Maxn 200010
using namespace std;
inline void read(int &x)
{
    int f=1;x=0;char s=getchar();
    while(s<'0'||s>'9'){if(s=='-')f=-1;s=getchar();}
    while(s>='0'&&s<='9'){x=x*10+s-'0';s=getchar();}
    x*=f;
}
int n,m;
struct Segtree
{
	int ls,rs,sum;
}tree[Maxn<<5];
int rt[Maxn];
int a[Maxn],ins[Maxn]; 
int len,tot=0;
inline void Init(){tot=0;}
inline int getid(const int &x)
{
	return lower_bound(ins+1,ins+len+1,x)-ins;
}
inline void pushup(int rt)
{
	tree[rt].sum=tree[tree[rt].ls].sum+tree[tree[rt].rs].sum;
}
inline int build(int l,int r)
{
	int rt=++tot;
	if(l==r) 
	{
		tree[rt].sum=0;
		return rt;
	}
	int mid=(l+r)/2;
	tree[rt].ls=build(l,mid);
	tree[rt].rs=build(mid+1,r);
	pushup(rt);
	return rt;
}
int update(int k,int l,int r,int root,int val)
{
	int rt=++tot;
	tree[rt]=tree[root];
	if(l==k&&r==k)
	{
		tree[rt].sum+=val;
		return rt;
	}
	int mid=(l+r)/2;
	if(k<=mid) tree[rt].ls=update(k,l,mid,tree[rt].ls,val);
	else tree[rt].rs=update(k,mid+1,r,tree[rt].rs,val);
	pushup(rt);
	return rt;
}
int query(int u,int v,int l,int r,int k)
{
	if(l==r) return l;
	int mid=(l+r)/2,x=tree[tree[v].ls].sum-tree[tree[u].ls].sum;
	if(k<=x) return query(tree[u].ls,tree[v].ls,l,mid,k);
	else return query(tree[u].rs,tree[v].rs,mid+1,r,k-x);
}
signed main()
{
	Init();
	read(n),read(m);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		read(a[i]);
	}
	memcpy(ins,a,sizeof(ins));
	sort(ins+1,ins+n+1);
	len=unique(ins+1,ins+n+1)-ins-1;
	rt[0]=build(1,len);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		rt[i]=update(getid(a[i]),1,len,rt[i-1],1);
	}
	while(m--)
	{
		int l,r,k;
		read(l),read(r),read(k);
		printf("%lld\n",ins[query(rt[l-1],rt[r],1,len,k)]);
	}
	return 0;
}

    Warning:

    • ls[],rs[],sum[]等数组都要乘上 \(2^5\) 。
    • 离散化取lower_bound时，是最后减去0开头的地址，而不是1开头的地址。（即是lower_bound(ins+1,ins+n+1,x)-ins，而不是lower_bound(ins+1,ins+n+1,x)-ins-1）
    • 查询时递归右子树时查找第 \(k-|Son_{left}|\) 小，而不是 \(k\) 小。

  2. 静态区间互异的个数（SP3267 DQUERY - D-query）

    Description:

    给定数列 \(\{a_n\}\) ,求闭区间 \([l,r]\) 的互异的个数。

    Method:

    扫描序列建立可持续化线段树，若此元素是第一次出现，就将对应的线段树中的位置加1；反之，就将上一个出现的元素对应的线段树中的位置减1，将此元素对应的线段树中的位置加1。

    对于查询的 \([l,r]\) ，在第 \(r\) 个版本的线段树上查询位置 \(l\) ,对经过的区间中的和累加一下即可。

    Code:

    #include<bits/stdc++.h>
#define int long long 
#define Maxn 30010
using namespace std;
inline void read(int &x)
{
    int f=1;x=0;char s=getchar();
    while(s<'0'||s>'9'){if(s=='-')f=-1;s=getchar();}
    while(s>='0'&&s<='9'){x=x*10+s-'0';s=getchar();}
    x*=f;
}
int n,q;
int a[Maxn]; 
int tot=0;
struct Segtree
{
	int ls,rs,sum;
}tree[Maxn<<5];
int rt[Maxn];
inline void Init(){tot=0;}
inline void pushup(int rt)
{
	tree[rt].sum=tree[tree[rt].ls].sum+tree[tree[rt].rs].sum;
}
inline int build(int l,int r)
{
	int rt=++tot;
	if(l==r) 
	{
		tree[rt].sum=0;
		return rt;
	}
	int mid=(l+r)/2;
	tree[rt].ls=build(l,mid);
	tree[rt].rs=build(mid+1,r);
	pushup(rt);
	return rt;
}
int update(int k,int l,int r,int root,int val)
{
	int rt=++tot;
	tree[rt]=tree[root];
	if(l==k&&r==k)
	{
		tree[rt].sum+=val;
		return rt;
	}
	int mid=(l+r)/2;
	if(k<=mid) tree[rt].ls=update(k,l,mid,tree[rt].ls,val);
	else tree[rt].rs=update(k,mid+1,r,tree[rt].rs,val);
	pushup(rt);
	return rt;
}
int query(int l,int r,int rt,int pos)
{
	if(l==r) return tree[rt].sum;
	int mid=(l+r)/2;
	if(pos<=mid) return tree[tree[rt].rs].sum+query(l,mid,tree[rt].ls,pos);
	else return query(mid+1,r,tree[rt].rs,pos);
}
map<int,int>mp;
signed main()
{
	Init();
	read(n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		read(a[i]);
	}
	rt[0]=build(1,n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		if(mp.find(a[i])==mp.end())
		{
			mp[a[i]]=i;
			rt[i]=update(i,1,n,rt[i-1],1);	
		}else
		{
			int tmprt=update(mp[a[i]],1,n,rt[i-1],-1);
			rt[i]=update(i,1,n,tmprt,1);
		}
		mp[a[i]]=i;
	}
	read(q);
	while(q--)
	{
		int l,r;
		read(l),read(r);
		int ans=query(1,n,rt[r],l);
		printf("%lld\n",ans);
	} 
	return 0;
}

四、扩展

  1. 动态区间第K小

    Description:

    给定数列 \(\{a_n\}\) ，支持两种操作：

    • 将 \(pos\) 位置的值改为 \(p\) ；
    • 查询闭区间 \([l,r]\) 的第 \(k\) 小值。

    Mothod：

    考虑树套树（树状数组套主席树）

    咕咕咕……

posted @ 2019-10-28 21:52  nth_element  阅读(296)  评论(0)  编辑  收藏  举报