线性代数学习笔记

线性代数学习笔记

目录

• 1. why?
• 2. vector
• 3. 实数坐标空间
• 4. matric
  • 4.1. 向量
  • 4.2. 矩阵的逆

1 why?

线性模型 线性方程组等价于一个向量方程和矩阵方程

数据模型,线性代数是使用虚拟数字世界表示真实物理世界的工具。

2 vector

向量有大小和方向 magnitude and direction

比如5mph (5 miles per hour)只有大小，没有方向，用来表示速度 5mph east 是一个向量

不管起点，同样的大小和方向就是相等的

向量是对象的属性列表

向量符合交换律s+r = r+s

3 实数坐标空间

2维坐标 2-tuple

4 matric

clojure中矩阵操作 mm:点积 scal:放大

4.1 向量

向量相加: \[v+w\] 使用c和d乘它们获得cv和cw.组合这两种操作获得线性组合(linear combination): \[ cv+dw = c [_1^1]+d[_3^2]=[_{c+3d}^{c+2d}]\]

列向量v: \[ v = [_{v2}^{v1}]\] v1=v的第一个成分 v2=v的第二个成分 两个向量相加，它们的第一和第二部分仍然是分开的: \[ v=[_{v2}^{v1}] \quad 和 \quad w=[_{w2}^{w1}] \quad 相加 \quad v+w=[_{v2+w2}^{v1+w1}] \]

相减与此类似v-w等于v₁-w₁ 和v₂-w₂

另一个基本操作是标量乘法(scalar multiplication)。 \[ 2v = [_{2v2}^{2v1}] = v + v \quad -v = [_{-v2}^{-v1}] \]

注意-v和v的和是0向量，但与数字0不同，有两个成分[₀⁰]

组合加与标量乘法产生线性组合(linear combination)。cv和dw的和是一个线性组合cv + dw.

代码1  ocaml中操作向量

exception VectorMismatch

(** 两个向量相加 *)
let rec v2add x y =
  match x,y with
  | [],[] -> []
  | x1::xs,y1::ys -> x1 +. y1 :: v2add xs ys
  | _ -> raise VectorMismatch

(** 三个向量相加 *)
let rec v3add x y z =
  match x,y,z with
  | [],[],[] -> []
  | x1::xs,y1::ys,z1::zs -> x1 +. y1 +. z1 :: v3add xs ys zs
  | _ -> raise VectorMismatch

(** 向量放大 *)
let rec vscal s v =
  match v with
  | [] -> []
  | x::xs -> x *. s :: vscal s xs

let vprint title v =
  print_string title;
  print_newline ();
  List.iter (Printf.printf "| %F |\n") v

let v = [1.; 1.; -1.]
let w = [2.; 3.; 4.];;
vprint "v:" v;;
vprint "w:" w;;
vprint "v+w:" (v2add v w);;
vprint "3w:" (vscal 3. w);;
v3add [1.; 0.; 3.;] (vscal 4. [1.; 2.; 1.;]) (vscal (-2.) [2.; 3.; -1.]);;

\[ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{bmatrix} + 4 \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} - 2 \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{bmatrix} \] 的结果是:

1

2

9

二维和三维向量容易用绘图表示， 有两个成分的向量对应xy平面上的一个点.x=v1,y=v2的坐标。从(0,0)开始的话，就在点(v1,v2)结束。

含有三个成分的向量(v1,v2,v3),xy平面替换为xyz空间:

\begin{equation} r=\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix} \quad 和 \quad w=\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{bmatrix} \quad 和 \quad v+w=\begin{bmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \end{bmatrix} \end{equation}

\[ v = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix} \quad 也可以写为 \quad v = (1,1,-1) \]

用行的形式写是为了节约空间，但v不是一个行向量,它是一个列向量.

单个向量u的线性组合是cu.两个向量的线性组合是cu+dv.三个向量的线性组合是cu+dv=ew. 对于有三个成分的向量,cu组合是填充通过(0,0,0)的线,cu+dv的组合是填充通过(0,0,0)的平面,cu+dv+ew的组合填充3维空间。

\[ ai+bj=[_a^b] \]

r向量的长度: \[ \| r \| = \sqrt{a^2+b^2} \]

两个向量(二维): \[ r = [_2^3]=[_{r_j}^{r_i}] \] \[ s=[_2^{-1}]=[_{s_j}^{s_i}] \]

dot product(点积): \[ r \cdot s = r_is_i + r_js_j = 3 \times -1 + 2 \times 2 = 1 = s \cdot r \]

\begin{equation} r=\begin{bmatrix} r_1 \\ r_2 \\ \vdots \\ r_n \end{bmatrix} s=\begin{bmatrix} s_1 \\ s_2 \\ \vdots \\ s_n \end{bmatrix} t=\begin{bmatrix} t_1 \\ t_2 \\ \vdots \\ t_n \end{bmatrix} \end{equation} \begin{align*} r \cdot (s + t) &= r_1(s_1+t_1)+r_2(s_2+t_2)+\dots+r_n(s_n+t_n) \\ &= r_1s_1+r_1t_1+r_2s_2+r_2t_2+\dots+r_ns_n+r_nt_n \\ &= r \cdot s + r \cdot t \end{align*}

向量长度的平方等于与自身的点积 \[ r \cdot r = r_ir_i + r_jr_j = r_i^2+r_j^2 = \|r\|^2 \]

\[ r \cdot s = |r||s| \cos\theta \]

4.2 矩阵的逆

矩阵A: \[ A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \]

A的逆: \[ A^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix} \]

A的行列式: \[ \|A\| = ad-bc \]

作者: ntestoc

Created: 2018-12-12 Wed 22:17