浅谈分层图与最短路
众所周知，对于经典的最短路问题，我们可以使用各类算法来解决。
但是对于这道题，我们可以选取某些边，改变它的权值。
显而易见的一点就是直接套用SPFA或者Dijkstra并不能解决这个问题。
这时候我们引入一个叫做分层图的东西。
把每一个点复制\(k\)次，形成\(k\)层的图。我们认为当一个点从第\(i\)层到达第\(i+1\)层时就相当于使用了一次更改权值的机会。
那么对于这道题，我们只要对应地建图即可，每一层内正常连边，下层向上层的边权值为\(0\)，上层不能抵达下层。最后跑一次最短路即可。
#include<cstdio>
#include<queue>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=5e7+5,maxm=5e7+5;
struct EDGE
{
int to,next,val;
}edge[maxm];
int n,m,k,cost[maxn],cnt,head[maxn],s,t,a,b,c;
struct DATA
{
int id,val;
bool operator <(const DATA &x) const
{
return val>x.val;
}
};
priority_queue<DATA> que;
bool vis[maxn];
void add(int u,int v,int w)
{
edge[++cnt].to=v;
edge[cnt].next=head[u];
edge[cnt].val=w;
head[u]=cnt;
}
void dijkstra()
{
for (int i=0;i<=n*(k+1);i++) cost[i]=0x3f3f3f3f;
cost[s]=0;
DATA sta;sta.id=s;sta.val=0;
que.push(sta);
while (!que.empty())
{
DATA mini=que.top();
que.pop();
if (vis[mini.id]) continue;
if (mini.val>cost[mini.id]) continue;
vis[mini.id]=true;
for (int j=head[mini.id];j;j=edge[j].next)
{
int v=edge[j].to;
if (cost[mini.id]+edge[j].val<cost[v])
{
cost[v]=cost[mini.id]+edge[j].val;
DATA tmp;tmp.id=v;tmp.val=cost[v];
que.push(tmp);
}
}
}
}//heap+dijkstra
int main()
{
scanf("%d%d%d%d%d",&n,&m,&k,&s,&t);
for (int i=1;i<=m;i++)
{
scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
for (int j=0;j<=k;j++)
{
add(a+n*j,b+n*j,c);
add(b+n*j,a+n*j,c);
if (j==k) break;
add(a+n*j,b+n*(j+1),0);
add(b+n*j,a+n*(j+1),0);
//建图
}
}
dijkstra();
int ans=0x3f3f3f3f;
for (int i=0;i<=k;i++)
ans=min(ans,cost[t+i*n]);
printf("%d",ans);
return 0;
}
例题：
最优贸易的解法：可以把点复制三份，从第一层到第二层代表买入，从第二层到第三层代表卖出即可。
#include<cstdio>
#include<queue>
using namespace std;
const int maxn=1e5+5,maxm=5e5+5;
struct EDGE
{
int to,next,val;
}edge[maxm*4];
queue<int> que;
int n,m,cost[3*maxn],head[3*maxn],val,x,y,z,cnt;
bool vis[3*maxn];
void add(int u,int v,int w)
{
edge[++cnt].to=v;
edge[cnt].next=head[u];
edge[cnt].val=w;
head[u]=cnt;
}
void SPFA()
{
for (int i=1;i<=3*n;i++) cost[i]=0x3f3f3f3f;
cost[1]=0;vis[1]=true;que.push(1);
while (!que.empty())
{
int u=que.front();
que.pop();vis[u]=false;
for (int i=head[u];i;i=edge[i].next)
{
int v=edge[i].to;
if (cost[v]>cost[u]+edge[i].val)
{
cost[v]=cost[u]+edge[i].val;
if (!vis[v])
{
vis[v]=true;
que.push(v);
}
}
}
}
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
for (int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&val);
add(i,i+n,val);
add(i+n,i+2*n,-val);
}
for (int i=1;i<=m;i++)
{
scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
z--;
add(x,y,0);
add(x+n,y+n,0);
add(x+2*n,y+2*n,0);
if (z)
{
add(y,x,0);
add(y+n,x+n,0);
add(y+2*n,x+2*n,0);
}
}
SPFA();
if (cost[3*n]<0) printf("%d",-cost[3*n]);
else printf("0");
return 0;
}
