[十六]基础类型BigInteger简介
属性简介
| 负数 | -1 |
| 0 | 0 |
| 正数 | 1 |
字节序为大端模式，大端模式就是低地址存储高位
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对于BigInteger 他的数据打开就是这么一种形式
[ 101....32位....1] [ 110....32个....1] ....N个..... [ 0110....32个....1]
它的真值的计算方法与其他的二进制序列一样的
二进制为 0111 1110 的十进制为126 相信谁都会计算，BigInteger也是如此的
尤其是对于BigInteger字符串参数的构造形式
千万不要以为就是把字符的编码或者字符转换成数字切段存放到int数组中
他存放的都是转换后的真值
下面会详细介绍
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使用字节数组构造
- 如果是一个负数，会先得到真值的绝对值
- 如果有前导零，还会去掉所有的前导零
原码/反码/补码
| 原码 |
符号位+数值位
符号位为0 表示正数，符号位为1 表示负数
数值位就是真值的绝对值
又被称为带符号的绝对值表示
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| 反码 | 正数的反码为其原码 负数的反码为其原码的除符号位外，逐位取反 |
| 补码 | 正数的补码为其原码 负数的补码为其反码+1 |
补码计算步骤
| 第一步求原码: 先写出来她的原码--->符号位+数值位(绝对值) |
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第二步求反码:
如果是正数 反码与原码一样
如果是负数 反码为原码取反(除符号位外，逐位翻转)
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| 第三步求补码: 如果是正数 补码与原码一样 如果是负数 补码为反码 + 1 |
| 第四步扩充: 如果不足数据类型的宽度，将需要填充到指定宽度 符号位扩充，也就是正数补0 负数补1 |
| 总结 不管什么形式，第一位始终都是符号位，0 表示正数， 1表示负数 正数原码/反码/补码 全都一样，知道一种就直接得到另外的形式 负数如果知道补码，想要得到他的原码，只需要对补码再一次的求补码即可 |
示例1
示例2
使用String构造
算法基础
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对于十进制
可以表示10位十进制数字
但是 2147483648 (2147483647+1) 仍旧是10位数字却溢出了
所以选择保存9位十进制数
所以每个int 十进制下最大值为10的9次方
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对于二进制
最大值 231-1 ，所以只能保存30位 2进制数
所以每个int 二进制下最大值为2的30次方
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对于三进制
319 =1162261467 <2147483647<320 = 3486784401
所以能够保存19位 三进制数
所以每个int 三进制下最大值为3的19次方
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对于四进制
415 = 1073741824 < 2147483647 < 416 = 4294967296
所以能够保存15位 四进制数
所以每个int 四进制下最大值为4的15次方
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| 对于十六进制 167 =268435456 < < 2147483647 < 168 = 4294967296 所以能够保存7位十六进制数 所以每个int 十六进制下最大值为16的7次方  |
| 所以就有了这么两个映射数组 digitsPerInt 表示每个int 可以表示的，指定进制下数字的位数，下标索引就是进制基数 比如可以表示十六进制的位数为digitsPerInt[16] = 7 intRadix 表示每个int可以表示的指定进制下的最大值，下标索引就是进制基数 比如 每一位int 可以表示的十进制的最大值为 intRadix[10] = 0x3b9aca00=1，000，000，000  其实intRadix这个数就是: BigInteger在这个基数下的基数 这句话有点绕，BigInteger内部是数组，假如为mag[0] mag[1] intRadix[10] = 0x3b9aca00 那么也就是，BigInteger在十进制，也就是10为基数下的基数为0x3b9aca00 那么这个值就是 mag[0] x 0x3b9aca001 + mag[1] x 0x3b9aca000 就如同十进制的数12的计算方式为1x101 + 2 x100 =12 一样的道理 下面还会继续说明 |
| BigInteger内部使用int数组表示 普通数值使用每个数值位上的数字进行表示 |
| 一个BigInteger有多个int 一个普通数值有多个数字位 |
每个int能够表示的指定进制的最大值--intRadix 中保存的数据
其实 就是 BigInteger 的基于每个int作为一个元素的进制基数
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| 假设R为指定的基数 L为指定基数的数字的长度 那么用多少位2进制数可以表示? |
x位二进制能够表示的最大值为 |
L位R进制的数能够表示的最大值为 比如R=10 L=2 也就是十进制两位数能够表示的最大值为: 10的平方减1 等于 99 |
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| 解上面的方程，可以得出来 x的长度为 ：L 乘以 以2为底R的对数 |
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内部还有一个数组
这个数组的值就是以2为底R的对数的值，然后乘以1024，然后进行向上取整
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| bitsPerDigit 就是每个数字需要的比特位数乘以1024后在取整 之所以乘以1024然后在取整 应该是为了简化运算，这个数必然要是2的N次方，计算机移位最快 当然，这个地方乘以1024 实际使用的时候必然也还得除以1024  |
| 以2为底 2的对数 = 1 * 1024 = 1024 以2为底 3的对数 = 1.5849625007 * 1024 = 1623.0016007168 -> 1624 以2为底 4的对数 = 2 * 1024 = 2048 以2为底 5的对数 = 2.3219280949 * 1024 = 2377.6543691776 ->2378 以2为底 10的对数 = 3.3219280949 * 1024=3401.6543691776 -> 3402 以2为底 16的对数 = 4 * 1024 = 4096 |
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digitsPerInt 表示不同基数(进制)下一个int 能够表示的数字的长度 ，这个位数其实就是按照多长进行分割组装
intRadix 就是基数
bitsPerDigit 是用来推算需要多少个int的，也就是int数组的长度
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我们以一个最简单的例子进行演示:
计算字符串 "123" 十进制表示的数值
使用数组mag 来进行存储每一位数字
显然需要mag[3] 不要纠结mag类型，此处只是为了示例
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| 1. 找到第一个字符 "1" ，转换为数字1， 然后保存到mag[3] = 1 (我们此处假定从数组最后开始存放) |
| 2. 找到第二个字符 "2" ， 转换为数字2，然后 计算 mag[3] x 10 +2 mag[3] x 10 = 10 ，结果进行保存 mag[2] 保存1 mag[3] 保存0 然后再加上2 0+2 = 2 不用进位 所以最终结果为mag[3] = 2 mag[2] = 1 |
| 3. 找到第三个字符 "3" ， 转换为数字3，然后 计算 (mag[2]mag[3]) x 10 +3 mag[2]mag[3] 就相当于是两位数 比如12  此时 mag[3] = 0 mag[2] = 2 mag[0] = 1 然后还需要加 3 mag[3] + 3 = 0+3 = 3 也没有进位 那么最终结果为 mag[0] = 1 mag[2] = 2 mag[3] = 3 |
| 以上就是一个简单的从字符串123 转换为10进制数，并且保存到数据的过程 String的构造就是类似这样的一个过程 |
构造方法源码解析
public BigInteger(String val， int radix) {
//定义了两个变量一个光标，光标记录着应该要处理的数据索引下标
//另一个numDigits 用来保存需要处理的数字位数 也就是有效长度，比如去掉前导零后的
int cursor = 0， numDigits;
final int len = val.length();//传递进来的字符数组的长度
//如果给定的基数，不在合法范围内，那么抛出异常，不会默认处理
if (radix < Character.MIN_RADIX || radix > Character.MAX_RADIX)
throw new NumberFormatException("Radix out of range");
//如果字符串长度为0 也是一种非法的参数
if (len == 0)
throw new NumberFormatException("Zero length BigInteger");
// Check for at most one leading sign
int sign = 1;
int index1 = val.lastIndexOf('-');
int index2 = val.lastIndexOf('+');
//符号- + 只能出现一个，而且还必须是第一个位置，否则都不合法
//根据最后一个的索引与0 进行比较，可以简便的判断符号位是否合法
if (index1 >= 0) {
if (index1 != 0 || index2 >= 0) {
throw new NumberFormatException("Illegal embedded sign character");
}
sign = -1;
cursor = 1;
} else if (index2 >= 0) {
if (index2 != 0) {
throw new NumberFormatException("Illegal embedded sign character");
}
cursor = 1;
}
//经过前面的判断，如果有符号位的话，光标的值更新为1 也就是后续不处理符号位
//如果此时光标的值等于字符长度，说明没有有效数字了，将会抛出异常
if (cursor == len)
throw new NumberFormatException("Zero length BigInteger");
// Skip leading zeros and compute number of digits in magnitude
//如果有前导0 ，将会去掉这些，光标的位置也会跟着一起移动
while (cursor < len &&
Character.digit(val.charAt(cursor)， radix) == 0) {
cursor++;
}
//跳过了所有的0之后就不再有有效数据了，说明他就是个0
//哪怕他原来设置的负数的0 将会变为0 的标记
if (cursor == len) {
signum = 0;
mag = ZERO.mag;
return;
}
//记录实际需要处理的数据长度以及对符号位使用signum进行记录
numDigits = len - cursor;
signum = sign;
// Pre-allocate array of expected size. May be too large but can
// never be too small. Typically exact.
//根据前面的公式计算实际需要的二进制位数 numDigits需要处理的数字的长度
//bitsPerDigit 里面记录了每个进制1位数需要的二进制位数，但是放大了1024倍，所以还要除以1024 也就是右移10
//真正的值可能是小数个，除以1024之后变成了取整了，然后再加上一，百分百够用，需要的比特位数保存到numBits
long numBits = ((numDigits * bitsPerDigit[radix]) >>> 10) + 1;
if (numBits + 31 >= (1L << 32)) {
reportOverflow();
}
//numWords 记录的是实际需要的int类型数据的个数，也就是数组的长度
//右移5位就是除以32 就是计算数组的长度，除法会取整，防止1个不足32位的时候，就会变成0了所以numBits加上31 之后再除以32
int numWords = (int) (numBits + 31) >>> 5;
//此时创建真正的保存数据的int数组了
int[] magnitude = new int[numWords];
// Process first (potentially short) digit group
//numDigits 需要处理的数字的个数
//digitsPerInt 保存的是每一个int能够保存的指定数制下的字符长度
//如果有余数，说明有一个不足最大长度的位数
//如果没有余数，那么每一组都是刚好能够保存的最大长度
int firstGroupLen = numDigits % digitsPerInt[radix];
if (firstGroupLen == 0)
firstGroupLen = digitsPerInt[radix];
//第一组数据存放到数组的最后一个
String group = val.substring(cursor， cursor += firstGroupLen);
magnitude[numWords - 1] = Integer.parseInt(group， radix);
if (magnitude[numWords - 1] < 0)
throw new NumberFormatException("Illegal digit");
// Process remaining digit groups
int superRadix = intRadix[radix];
int groupVal = 0;
while (cursor < len) {
group = val.substring(cursor， cursor += digitsPerInt[radix]);
groupVal = Integer.parseInt(group， radix);
if (groupVal < 0)
throw new NumberFormatException("Illegal digit");
// 这个方法是用来累计计算的，方法内部写的很复杂
//其实逻辑很简单，比如一个数字序列1234，求他表示的值是多少
// ( ( (1*10)+2 )*10+3 )*10 +4 = 1234
//这个方法就是用来计算的，只不过每一个位置是一个int 低32位当做数值 高32位当做进位
destructiveMulAdd(magnitude， superRadix， groupVal);
}
// Required for cases where the array was overallocated.
mag = trustedStripLeadingZeroInts(magnitude);
if (mag.length >= MAX_MAG_LENGTH) {
checkRange();
}
}
构造方法运行步骤
字符串构造方法计算示例
| -12345678986543215678901 字符串总长度24 负号占1位， 光标移动一个位置 cursor=1 还有23个字符长度需要处理 |
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需要处理的数字个数为
numDigits = len - cursor = 23
需要的二进制位数为
((numDigits * bitsPerDigit[radix]) >>> 10) + 1
(23*3402)/1024 +1 = 76+1 = 77
需要的int个数， 也就是数组长度为3
(int) (numBits + 31) >>> 5 (77+31)/32 = 3(3.375)
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十进制可以保存9位数字
23 不是9的倍数，商2 余数5
所以最高5位将会被截取单独存放
取前面5个数字，也就是12345
12345按照10进制解析为数字，存放到最后一个元素
也就是mag[2] = 12345 光标也跟随移动
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| 数据显然没有处理结束， 进入循环处理， 直到最后结束 第一趟: 先获得接下来的9个字符 也就是 "678986543" ，然后解析为10进制数 678986543 此时 mag[0] = 0，mag[1] = 0 mag[2] = 12345 进入方法 destructiveMulAdd destructiveMulAdd(int数组， 基数， 截取到的值) 他会乘以基数然后加上截取到的数字  高32位进位，低32位作为得数 此时mag[0] 和mag[1] 不用在乘了，因为此时都是0 ， mag[1] 加上进位即可 此时 mag[0]=0 mag[1] =2874 mag[2] 1263991296 还需要加上678986543  没有进位 所以第一趟结束之后，最终结果为 mag[0]=0 mag[1] =2874 1942977839 |
| 第二趟 获得接下来的9个字符 也就是 "215678901" ，然后解析为10进制数 215678901  低32位 为得数 高32位为计数
也就是
得数 -603122176 这是个有符号数
可以使用System.out.println(Integer.valueOf(0xDC0D1600)); 打印出来
进位 452384780
如同我们平时计算乘法一样，还需要计算前一位
此时 mag[0]=0 mag[1] =2874 mag[2] = -603122176
2874 x 10的9次方 = 2874000000000
加上 上一个进位 452384780
结果为 2874452384780
10 1001 1101 0100 0010 1011 0110 1001 1100 0000 1100
所以此时第二位得数为 1119263756(后32位)
进位 10 1001 1101 (高32位) 669
所以此时mag数组为:
mag[0] = 669 mag[1] = 1119263756 mag[2]= -603122176
还需要加上最后截取的数值
 所以最终的结果为
mag[0]=669 mag[1] =1119263756 mag[2] = -387443275
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其他构造方法
方法简介
基础方法
| 获取符号位 signum() |
| 常用数学函数 negate() 取负 abs() 绝对值 pow(int) 求幂
gcd(BigInteger) 最大公约数
min(BigInteger) 最小值
max(BigInteger) 最大值
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四则运算与取整求余
add(BigInteger) 加法
subtract(BigInteger) 减法
multiply(BigInteger) 乘法
divide(BigInteger) 除法(取整)
remainder(BigInteger) 求余
divideAndRemainder(BigInteger) 取整和求余 返回的是一个数组
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获取基本类型的值
不同于基本数值类型的包装类，此处并不是直接强转的
如果太大intValue 和 longValue 将分别返回低的32位和64位
longValue 和 doubleValue可能会被转换为无穷
intValue()
longValue()
floatValue()
doubleValue()
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数值类型的准确值
longValueExact()
intValueExact()
shortValueExact()
byteValueExact()
所谓准确就是不会舍入或者转换，因为他们会进行数据长度的校验
否则将会抛出异常
比如
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位操作相关
and(BigInteger) 与
or(BigInteger) 或
not() 非
xor(BigInteger) 异或
andNot(BigInteger) 返回其值为 (this & ~val) 的 BigInteger 等效于 and(val.not())
shiftLeft(int) 左移
shiftRight(int) 右移
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取模与求余对比
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计算过程相同
对于整型数a，b来说，取模运算或者求余运算的方法都是：
求模运算和求余运算在第一步不同:
取余运算在取c的值时，向0 方向舍入;
而取模运算在计算c的值时，向负无穷方向舍入;
因此，求模时结果的符号与b一致，求余时结果的符号与a一致
如果a，b都是正整数的话，求模与求余没有区别
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mod(BigInteger)
返回其值为 (this mod m) 的 BigInteger，取模不同于 remainder
BigInteger modPow(BigInteger exponent，BigInteger m)
 BigInteger modInverse(BigInteger m)
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bitCount与bitLength
| public int bitCount() 返回此 BigInteger 的二进制补码表示形式中与符号不同的位的数量 特别注意这个方法的含义 不是二进制补码表示形式的 1 位的数量，而是与符号不同的 |
| bitLength 最小的二进制补码表示形式的位数，不包括 符号位 对于正 BigInteger，这等于常规二进制表示形式中的位数 就是去掉符号位占用的长度 |
valueOf(long)
| valueOf(long) 包装一个long为BigInteger BigInteger的valueOf有缓冲的作用 |
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equals(Object)
| equals(Object) 重写了equals方法 数据相等 才是相等 |
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toString hashCode CompareTo
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public String toString(int radix) 转换为指定基数
toString()
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| hashCode() |
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compareTo(BigInteger)
小于、等于或大于 时，返回 -1，0，或 1
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素数相关
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是否素数
public boolean isProbablePrime(int certainty)
如果此 BigInteger 可能为素数，则返回 true，如果它一定为合数，则返回 false
如果 certainty <= 0，则返回 true
参数：
certainty - 调用方允许的不确定性的度量
如果该调用返回 true，则此 BigInteger 是素数的概率超出 ( 1 - 1/(2的certainty次方) )
此方法的执行时间与此参数的值是成比例的
返回：
如果此 BigInteger 可能为素数，则返回 true，如果它一定为合数，则返回 false
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public static BigInteger probablePrime(int bitLength，
Random rnd)
返回有可能是素数的、具有指定长度的正 BigInteger此方法返回的 BigInteger 是合数的概率不超出 2的-100次方 参数：
bitLength - 返回的 BigInteger 的 bitLength。
rnd - 随机比特源，用这些随机比特选择用来进行质数测试的候选数
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nextProbablePrime
public BigInteger nextProbablePrime()
返回大于此 BigInteger 的可能为素数的第一个整数
此方法返回的数是合数的概率不超出 2的-100次方
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特殊的"位操作"
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testBit(int) 计算 (this & (1<<n)) != 0
setBit(int) 计算 this | (1<<n)
clearBit(int) 计算 this & ~(1<<n)
flipBit(int) 计算 this ^ (1<<n)
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getLowestSetBit()
返回此 BigInteger 最右端（最低位）1 比特位的索引
也就是从最右边开始数找到的第一个1
此字节的右端开始到本字节中最右端 1 之间的 0 比特的位数
如果此 BigInteger 不包含1位，则返回 -1
计算 this==0? -1 : log2(this & -this)
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toByteArray
| public byte[] toByteArray() |
| BigInteger 内部使用int数组进行数据保存 一个int包含4个byte BigInteger可以使用byte数组构造 也自然能够分解成byte数组进行保存 |
