莫比乌斯反演初探
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数论（整除）分块
整除分块：设函数\(f(x)=\lfloor\frac{N}{x}\rfloor, x\in N^+\)，期望在根号时间内求得\(\sum_{x} f(x)\)的值。
【定理1】\(f(x)\)的值域大小不超过\(2\sqrt{N}\)。
【定理2】若\(x=q\)为\(f(x)=p\)的解，则\(x=\lfloor\frac{N}{\lfloor N/q\rfloor}\rfloor\)是\(f(x)=p\)的最大解。
证明如下
\[\text{make } N=pq+r(0\le r<q) \\
\text{make } N=p*(q+k)+t(0\le t<q+d) \\
pk+t=r\\
t=r-pk\ge 0 \\
k\le\lfloor \frac{r}{p}\rfloor=\lfloor \frac{N\bmod q}{p}\rfloor \\
\begin{aligned}
x_{\max}&=q+k_{\max} \\
&=q+\lfloor \frac{N\bmod q}{p}\rfloor\\
&=q+\lfloor \frac{N-\lfloor N/q\rfloor*q}{\lfloor N/q\rfloor}\rfloor\\
&=\lfloor q+\frac{N-\lfloor N/q\rfloor*q}{\lfloor N/q\rfloor}\rfloor\\
&=\lfloor\frac{\lfloor N/q\rfloor*q +N-\lfloor N/q\rfloor*q}{\lfloor N/q\rfloor}\rfloor\\
&=\lfloor\frac{N}{\lfloor N/q\rfloor}\rfloor\\
\end{aligned}
\]
莫比乌斯函数
【定义】
定义 \(\mu(d)\) 为
\[\mu(d)=\begin{cases}
1&d=1\\
(-1)^k&d=\Pi^{k}_{i=1}P_i\\
0&else
\end{cases}
\]
称 \(\mu(d)\) 为关于 \(d\) 的莫比乌斯函数。
【性质】
- 对于任意 \(n\in N^*\) ，有 \(\sum_{d|n}\mu(d)=[n=1]\) 。
- 对于任意 \(n\in N^*\) ，有 \(\sum_{d|n}\dfrac{\mu(d)}{d}=\dfrac{\phi(n)}{n}\) 。
【 递推】 结合线性筛素数。
【配套练习 】
\[\begin{aligned}
r&=\sum_{p\in\Pr}\sum _{x=1}^n\sum_{y=1}^m [\gcd(x,y)=p]\\
&=\sum_{p=\Pr}\sum_{x=1}^{\lfloor n/p\rfloor}\sum_{y=1}^{\lfloor m/p\rfloor}[\gcd(x,y)=1] &\star\\
r&=\sum_{p=\Pr}\sum_{x=1}^{\lfloor n/p\rfloor}\sum_{y=1}^{\lfloor m/p\rfloor}\sum_{d|\gcd(x,y)}\mu(d) &\star\\
&=\sum_{p=\Pr}\sum_{d=1}^{\lfloor\frac{\min(n,m)}{p}\rfloor}\mu(d)\sum_{x=1}^{\lfloor n/p\rfloor}\sum_{y=1}^{\lfloor m/p\rfloor}[d|\gcd(x,y)]\\
&=\sum_{p=\Pr}\sum_{d=1}^{\lfloor\frac{\min(n,m)}{p}\rfloor}\mu(d)\lfloor\frac{n}{pd}\rfloor\lfloor\frac{m}{pd}\rfloor\\
\text{设 }k&=pd\\
r&=\sum_{p=\Pr}\sum_{d=1}^{\lfloor\frac{\min(n,m)}{p}\rfloor}\mu(\frac{k}{p})\lfloor\frac{n}{k}\rfloor\lfloor\frac{m}{k}\rfloor\\
&=\sum_{k=1}^{\min(n,m)}\sum_{p\in\Pr,p\mid k}\mu(\frac{k}{p})\lfloor\frac{n}{k}\rfloor\lfloor\frac{m}{k}\rfloor\\
\text{预处理}f(k)&=\sum_{p\in\Pr,p\mid k}\mu(\frac{k}{p})\text{对于所有的 k(s)}\\
r&=\sum_{k=1}^{\min(n,m)}f(k)\lfloor\frac{n}{k}\rfloor\lfloor\frac{m}{k}\rfloor\\
\end{aligned}
\]
\[\begin{aligned}
r(n,m)&=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\frac{i*j}{\gcd(i,j)}\\
&=\sum_{d}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\frac{i*j}{d} [\gcd(i,j)=d]\\
&=\sum_{d}\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{m}{d}\rfloor}d*i*j[\gcd(i,j)=1]\\
&=\sum_{d=1}^{\min(n,m)}d\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{m}{d}\rfloor}i*j[\gcd(i,j)=1]\\
q(n,m)&=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m i*j[\gcd(i,j)=1] &\star\\
&=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m i*j\sum_{k|gcd(i,j)}\mu(k) &\star\\
&=\sum_{k=1}^{\min(n,m)}\mu(k)\sum_{k\mid i}^n\sum_{k\mid j}^m i*j\\
&=\sum_{k=1}^{\min(n,m)}\mu(k)\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{k}\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{m}{k}\rfloor} i*j*k^2\\
&=\sum_{k=1}^{\min(n,m)}k^2\mu(k)\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{k}\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{m}{k}\rfloor} i*j\\
r(n,m)&=\sum_{d=1}^{\min(n,m)}d*q(d,\lfloor\frac{n}{d}\rfloor,\lfloor\frac{m}{d}\rfloor)
\end{aligned}
\]
莫比乌斯反演
【定理1】若 \(F(n)\) 和 \(f(n)\) 是定义在 \(N\) 上的两个函数，且满足 \(F(n)=\sum_{d\mid n}f(d)\)，那么 \(f(n)=\sum_{d\mid n}\mu(d)F(\dfrac{n}{d})\)
证明：
\[\begin{aligned}
\sum_{d\mid n}\mu(d)F(\dfrac{n}{d})&=\sum_{d\mid n}\mu(d)\sum_{i\mid\dfrac{n}{d}}f(i)\\
&=\sum_{i\mid n}f(i)\sum_{d\mid\dfrac{n}{i}}\mu(d)\\
&=f(n) &\star\\
\end{aligned}
\]
【定理2】若 \(F(n)\) 和 \(f(n)\) 是定义在 \(N\) 上的两个函数，且满足 \(F(n)=\sum_{n\mid d}f(d)\)，那么 \(f(n)=\sum_{n\mid d}\mu(\dfrac{d}{n})F(d)\)
【配套练习】
\[\text{在忽略a的限制下}
\begin{aligned}
F(x)&=\sum_{d\mid x} d \\
r(n,m)&=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m F(\gcd(i,j))\\
&=\sum_{d=1}^{\min(n,m)}F(d)\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m[\gcd(i,j)=d]\\
&=\sum_{d=1}^{\min(n,m)}F(d)\sum_{d|k}\mu(\frac{k}{d})\lfloor\frac{n}{k}\rfloor\lfloor\frac{m}{k}\rfloor\\
&=\sum_{k=1}^{\min(n,m)}\lfloor\frac{n}{k}\rfloor\lfloor\frac{m}{k}\rfloor\sum_{d\mid k}F(d)\mu(\frac{k}{d})
\end{aligned}
\]
