群论初探

简单群论^[1][2]

群

定义

群\(G\)是一个定义在二元组\((S,\cdot)\)的代数结构。其中\(S\)是一个集合，\(·\)是一个二元运算符。

\(G\)所含元素的个数称为群\(G\)的阶，记为\(|G|\)。一般的，称阶为\(+\infty\)的群为无限群，否则称为有限群（定义同样适用于集合）。

在群\(G\)中，\(a\in G\)。若存在最小正整数\(k\)使得\(a^k=e\)，则称\(k\)为\(a\)的阶，记为\(|a|=k\)；否则称\(a\)的阶是无限的，记为\(|a|=+\infty\)。

群论中，集合或群中的一个元素也被称为一个点。提醒，你可能会在下文看到“由元素组成的群”等不严谨的说法，请不要纠结。

判定与性质

满足下列条件的二元组\(G=(S,\cdot)\)可以称为群：

1. 封闭性： \(\forall x,y\in S,x\cdot y\in S\)；

2. 结合律：\(\forall x,y,z\in S,(x\cdot y)\cdot z=x\cdot(y\cdot z)\)；

3. 单位元：\(\exists e\in S,\forall x\in S,e\cdot x=x\cdot e=x\)；

   当\(G\)为加法群是，其单位元称为零元，记作\(0\)。

4. 逆元：\(\forall x\in S,\exists y\in S,x\cdot y=y\cdot x=e\)；

   在式\(x\cdot y=e\)中，称\(x\)为\(y\)的左逆元，\(y\)为\(x\)的右逆元。当\(G\)为加法群时，\(a\)的逆元也称作负元，并记为\(-a\)。

   结论：在群中，左逆元\(=\)右逆元。

   证明：

   1. \(\forall x\in G,\exists a\in G,a\cdot x=e\)。\(a\)为\(x\)的左逆元。
   2. \(\exists b\in G,b\cdot a=e\)。

   由1、2，\(x\cdot a=(b\cdot a)\cdot (x\cdot a)=b\cdot (a\cdot x)\cdot a=b\cdot a=e\)，即\(a\)也是\(x\)的右逆元。得证。

消去律： \(x=y\)与\(x\cdot a=y\cdot a\)互为充要条件，\(x,y,a\in G\)。

结论：当\(S\)为有限集，在具有封闭性、结合律、单位元的二元组\((S,\cdot)\)里，逆元存在\(\Leftrightarrow\)消去律存在。

证明：

1. 逆元存在\(\Rightarrow\)消去律存在

   结合消去律定义与\(a\cdot a^{-1}=e\)可证。

2. 消去律存在\(\Rightarrow\)逆元存在

   对于\(\forall a\in S\)，建立新二元组\((S'=\{x\cdot a|x\in S\},\cdot)\)。根据封闭性，\(S'\in S\)。

   又\(S\)存在消去律，考虑集合的互异性，不会存在\(x,y\)使得\(x=y\)；同样的\(S'\)中不会存在值为\(x\cdot a\) 的两个相同元素即\(|S|=|S'|\)。

   由以上两点可知\(S=S'\)。因为\(e\in S\)，所以\(e\in S'\)。换而言之\(\exists t\in S\)使得\(t\cdot a=e\)。即\(S\)中有\(a\)的逆元。结论得证。

注意，上述结论用于无限集合中时，只有消去律是逆元的必要条件。

置换群

置换、循环与对换

有限集合到自身的一一映射称为一个置换，记为置换\(f\)。

置换的不动点值满足\(f(x)=x\)的“点”（即状态）。

结论： 有限集\(S\)的所有置换个数为\(|S|!\)。

当\(n\)相等时，置换可以相互运算，并称之为置换的连接。置换的连接满足结合律，但不满足交换律。称\(I=f^0\)为全等置换。

记一个\(n\)阶循环\((a_1,a_2,\cdots,a_n)=\begin{pmatrix}a_1,a_2,\cdots,a_n\\a_2,a_3,\cdots,a_1\end{pmatrix}\)。循环也称为轮换。

两个循环\((a_1,a_2,\cdots,a_n)\)、\((b_1,b_2,\cdots,b_m)\)不相交是指对与\(a_i\;(i\in[1,n])\)，\(\nexists b_j,\;(j\in[1,m])\)使得\(a_i=b_j\)。

1. 任意一个置换可以表示为若干个互不相交的循环的乘积。

   证明：将一个置换看作包含\(n\)的入度、出度都为\(1\)的有向图，可以发现这个图必然是有若干个互不干扰的环（特别的，环长可以为\(1\)）构成的，其中，每个环对应一个循环，得证。

2. 将一个置换上下倒换，各循环中元素不变，循环个数也不变。

3. 使置换\(f=f^{T+1}​\)（\(f^T=I​\)）的最小正整数\(T​\)为\(f​\)各循环长度（循环节）的最小公倍数。

对换即将两个元素互换（长度为\(2\)的轮换）。记作\((a_x,a_y)\)。

一个可以表示成偶数个对换的乘积称为偶置换，否则称为奇置换。 显然，置换的连接满足

1. 奇置换\(\cdot\)奇置换\(=\)偶置换
2. 偶置换\(\cdot\)偶置换\(=\)偶置换
3. 奇置换\(\cdot\)偶置换\(=\)奇置换
4. 偶置换\(\cdot\)奇置换\(=\)奇置换

置换群

置换群中的元素是一些置换,运算是置换的连接。

轨道（等价类）、稳定子集与稳定化子

原数列集合中的元素\(k\)，在置换群\(G\)中所有置换的像构成的集合叫做\(k\)的轨道或者包括\(k\)的等价类，记作\(k^G\)（也作\(orbit(k)\)、包含\(k\)的等价类\(E_k\)）。

有限集\(X\)的某\(m\)个元素构成了\(X\)的一个子集\(A\)，置换群\(G\)中可以使\(A\)中所有元素不动的置换构成的子集叫做\(A\)的一个稳定子集或稳定集。

特别地，当\(m=1\)时，即\(X\)中的一个元素\(k\)，置换群\(G\)中可以使元素\(k\)不动的置换构成的子集也称为\(k\)的稳定化子，记作\(G_k\)（也作\(stab(k)\)、不动置换类\(Z_k\)）。

陪集

定义

设\(H\)是\(G\)的子群，对于\(a\in G\)，\(\{a\cdot h|h\in H\}\)表示\(H\)的一个左陪集，记作\(aH\)；\(\{h\cdot a|h\in H\}\)表示\(H\)的一个右陪集，记作\(Ha\)。

性质

由于左右陪集证明方法相似，故除特殊说明，下面证明仅讨论都仅考虑左陪集的情况

1. \(\forall a\in G,|aH|=|H|\)

   根据群的消去律，\(G\)中不会有\(x,y\in G\)使得\(a\cdot x=a\cdot y\)。又\(H\in G\)，所以\(H\)中不会有\(x,y\in H\)使得\(a\cdot x=a\cdot y\)。故结论成立。

2. \(a\in aH\)

   因为\(H\)是个群，故\(e\in H\)，故\(a=a\cdot e\in aH\)。

3. \(a\in H\Leftrightarrow aH=H\)

   先说\(aH=H\Rightarrow a\in H\)：因为\(a\in aH=H\)（性质二）,所以\(a\in H\)；

   再说\(a\in H\Rightarrow aH=H\)：

   设\(H=\{x_1,x_2,x_3,\cdots,x_n\}\)。

   因为\(a\in H\), 故\(a^{-1}\in H\)。

   设集合\(H'=a^{-1}\cdot H=\{a^{-1}x_1,a^{-1}x_2,\cdots,a^{-1}x_n\}\)。 显然\(|H'|=|H|\)。

   又由封闭性可知\(H'\in H\)。，故\(H'=H\)。

   故\(aH=aH'=aa^{-1}H=H\)，得证。

4. \(b\in aH\Leftrightarrow bH=aH\)

   先说\(bH=aH\Rightarrow b\in aH\)：因为\(b\in bH=aH\)（性质二），所以\(b\in aH\)。

   再说\(b\in aH\Rightarrow bH=aH\)：显然\(b=a\cdot x\;(x\in H)\)，因为\(xH=H\)（性质三），所以\(bH=a\cdot xH=aH\)。

5. \(aH\cap bH\not=\emptyset\Rightarrow aH=bH\)

   设\(c\in aH\cap bH\)，则\(cH=aH=bH\)（性质四）

   换而言之，对\(G\)的子群\(H\),\(H\)的任意两个左（右）陪集要么相等，要么不相交。

6. \(\cup_{a\in G}\;aH=G\)

   考虑\(e\in H\)，一一枚举\(a\in G\)，由于\(a\cdot e=a\) ,结合群\(G\)的封闭性，显然其并集为\(G\)。

相关定理

拉格朗日定理

叙述：设\(H\)是有限群\(G\)的子群，则\(H\)的阶整除\(G\)的阶（\(\frac{|G|}{|H|}\)=\(H\)不同的陪集数）。

证明：由陪集的性质五、六可证。

轨道-稳定化子定理

叙述：对于一个置换群\(G\)和一个元素\(k\)有\(|k^G|\cdot|G_k|=|G|\)成立。

证明：

1. 先说 \(G_k\)（二元组）是\(G\)的子群：

   单位元： 因为\(e(k)=k\)，所以\(e\in G_k\)。

   结合律：置换的连接满足结合律

   封闭性：\(\forall s_1,s_2\in G_k, s_1(k)=s_2(k)=k\)，所以\(s_1[s_2(k)]=k\Rightarrow (s_1s_2)(k)=k\)，即置换\(s_1s_2\in G_k\)。

   逆元：置换的连接存在消去律。

   故，\(G_k\)是一个群。又因为\(G_k\)（集合）是\(G\)（集合）的子集，所以\(G_k\in G\)（群）。

2. 考虑所有置换\(f\in G​\)，因为\(\forall s\in G_k,s(k)=k​\)，所以\(\forall s\in fG_k,s(k)=f(k)​\)。

   根据\(k\)的轨道的定义，\(k^G=\{f(k)\ |f\in G\}\), 故\(G_k\)的不同的^[3]左陪集\(fG_k\)的数量为\(|k^G|\)。

3. 由拉格朗日定理，得证。

Burnside 引理

叙述：设\(G\)是目标集\([1,n]\)上的置换群，\(c(f)\)为在置换\(f\)下不动点的个数。若\(G\)将\([1,n]\)划分为\(L\)个等价类，那么

\[L=\dfrac{1}{|G|}\sum_{f\in G}c(f) \]

证明：每个轨道对答案贡献为\(1\)，所以每个点对答案贡献为\(\dfrac{1}{|k^G|}\)。 由轨道-稳定化子定理

\[L=\sum_{k}\dfrac{1}{|k^G|}=\sum_k\dfrac{|G_k|}{|G|}=\dfrac{\sum_k|G_k|}{|G|}=\dfrac{\sum_{f\in G }c(f)}{|G|} \]

Pólya 计数定理

叙述：设\(G\)是目标集\([1,n]\)上的置换群，设\(x\)是以目标集的排列为元素的集合。 \(m(f)\)表示在置换\(f\)下循环节的个数。如果将\([1,n]\)用\(k\)种颜色分别染色，然后把\(x\)划分为\(L\)个等价类，（\(L\)为本质不同的方案个数），那么

\[L=\dfrac{1}{|G|}\sum_{f\in G}k^{m(f)} \]

证明：如在置换后方案不变，除非在同一个置换节上用同一种颜色。此时不动点个数为\(k^{m(f)}\)。结合_Burnside 引理_的证明即可。

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1. 参考链接：《漫谈OI中的群论入门》 、《Polya》、 《群论.md》（最好）。 ↩︎

2. 写得比较随便，一些解释大概很牵强，口胡错了的请斧正！ ↩︎

3. 这里的描述可能有出入。我猜是把“集的不同”理解为“集的不等价”。 ↩︎