从零开始的伯努利数

伯努利数的坑太多了，目前正全力整合

基础部分已经填完了。

伯努利数

通常情况下指第一类伯努利数\(B^-\)，递推式为

\[B_0=1,\sum_{i=0}^n\binom{n+1}{i}B_i=0(n\ge1) \]

其前若干项为\(1,-\frac12,\frac16,0,-\frac1{30},0,\cdots\)，发现对大于1的奇数\(n\)伯努利数\(B_n=0\)。

与第二类伯努利数\(B^+\)的差别在于\(B_1^+=\frac12\)，或者说\(B^+_i=(-1)^iB^-_i\)，暂不研究。

伯努利数的生成函数

伯努利数\(B\)的指数生成函数

\[B(x)=\sum_{i=0}\frac{B_i}{i!}x^i=\frac{x}{e^x-1} \]

可以以如下方式推导

\[\begin{aligned} \sum_{i=0}^{n-1}\binom{n}{i}B_i&=0(n\ge2)\\ \sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}B_i&=B_n(n\ge2)\\ \sum_{i=0}^{n}\frac1{(n-i)!}\frac{B_i}{i!}&=\frac{B_n}{n!}(n\ge2)\\ \sum_{n=2}\sum_{i=0}^{n}\frac1{(n-i)!}\frac{B_i}{i!}x^n&=\sum_{n=2}\frac{B_n}{n!}x^n\\ \sum_{n=0}\sum_{i=0}^{n}\frac1{(n-i)!}\frac{B_i}{i!}x^n&=\sum_{n=2}\frac{B_n}{n!}x^n+(\frac{1}{1!}\frac{B_0}{0!}+\frac{1}{0!}\frac{B_1}{1!})x^1+\frac{1}{0!}\frac{B_0}{0!}x^0\\ \sum_{n=0}\sum_{i=0}^{n}\frac1{(n-i)!}\frac{B_i}{i!}x^n&=\sum_{n=0}\frac{B_n}{n!}x^n+x^1\\ B(x)\times e^x&=B(x)+x\Rightarrow B(x)=\frac{x}{e^x-1} \end{aligned} \]

这明面上给出了一个求出伯努利数列\(B\)的前\(n\)项的多项式做法，首先钦定\(0^0=1\)，

\[B(x)=\frac{x}{e^x-1}=\frac{x}{\sum_{i=0}\frac{x^i}{i!}-1}=(\sum_{i=0}\frac{x^i}{(i+1)!})^{-1} \]

伯努利多项式

等幂和函数

\[S_m(n)=\sum_{i=1}^ni^m(n,m\ge0) \]

它的多项式表达，即伯努利多项式为

\[S_m(n)=\frac1{m+1}\sum_{i=0}^m\binom{m+1}{i}B^+_in^{m+1-i} \]

转换一下，当\(n>0\)时，

\[\begin{aligned} \sum_{i=1}^{n-1}i^m=S_m(n)-n^m &=\frac1{m+1}\sum_{i=0}^m\binom{m+1}{i}B^+_in^{m+1-i}-n^m\\ &=\frac1{m+1}\sum_{i=0,i\not=1}^m\binom{m+1}{i}B^+_in^{m+1-i}+\frac1{m+1}\binom{m+1}{1}\frac12n^m-n^m\\ &=\frac1{m+1}\sum_{i=0,i\not=1}^m\binom{m+1}{i}B^-_in^{m+1-i}-\frac1{m+1}\binom{m+1}{1}\frac12n^m\\ &=\frac1{m+1}\sum_{i=0}^m\binom{m+1}{i}B^-_in^{m+1-i}\\ \sum_{i=1}^{n-1}i^m&=\frac1{m+1}\sum_{i=0}^m\binom{m+1}{i}B^-_in^{m+1-i} \end{aligned} \]

更常见的是这样一个形式

\[\sum_{i=0}^{n-1}i^m=\frac1{m+1}\sum_{i=0}^m\binom{m+1}{i}B^-_in^{m+1-i} \]

怎么得到的？当\(m>0\)时它能直接得出；当\(m=0\)时式子右边为\(n\)，而左边为\(n-1+0^0\)，因此只需钦定\(0^0=1\)。

考虑证明新的这个式子，左边的生成函数

\[\begin{aligned} F(x)&=\sum_{i=0}\sum_{j=0}^{n-1}j^i\frac{x^i}{i!}=\sum_{j=0}^{n-1}\sum_{i=0}j^i\frac{x^i}{i!}\\ &=\sum_{j=0}^{n-1}e^{jx}=\frac{e^{nx}-1}{e^x-1}\\ &=B(x)\frac{e^{nx}-1}x\\ &=B(x)\frac{\sum_{i=0}\frac{(nx)^i}{i!}-1}x\\ &=B(x)\sum_{i=0}\frac{n^{i+1}}{(i+1)!}x^i\\ &=(\sum_{i=0}\frac{B_i}{i!}x^i)(\frac{n^{i+1}}{(i+1)!}x^i) \end{aligned} \]

可知\([m]F(x)=\sum_{i=0}^m\dfrac{B_i}{i!}\dfrac{n^{m+1-i}}{(m+1-i)!}\)，再乘上指数生成函数中砍去的阶乘\(m!\)，恰好是求证等式右边化简后的形式，即得证。

例题 P3711 仓鼠的数学题

现学现用

\[\begin{aligned} \sum_{k=0}^na_k\sum_{i=0}^xi^k &=\sum_{k=0}^na_k(\frac1{k+1}\sum_{i=0}^k\binom{k+1}{i}B_ix^{k+1-i}+x^k)\\ &=\sum_{k=0}^n\frac{a_k}{k+1}\sum_{i=0}^k\binom{k+1}{i}B_ix^{k+1-i}+\sum_{k=0}^na_kx^k\\ \end{aligned} \]

参考之前推导的过程，对前一块拆开组合数，换枚举\(x\)次数来凑卷积

\[\sum_{k=0}^n\frac{a_k}{k+1}\sum_{i=0}^k\frac{(k+1)!B_i}{i!(k+1-i)!}x^{k+1-i} =\sum_{k=0}^na_k(k!)\sum_{i=0}^k\frac{B_i}{i!}\frac{x^{k+1-i}}{(k+1-i)!}\\ =\sum_{k=0}^na_k(k!)\sum_{i=1}^{k+1}\frac{B_{k+1-i}}{(k+1-i)!}\frac{x^i}{i!} =\sum_{i=1}^{n+1}\sum_{k=i-1}^na_k(k!)\frac{B_{k+1-i}}{(k+1-i)!}\frac{x^i}{i!}\\ =\sum_{i=1}^{n+1}\frac{x^i}{i!}\sum_{k=i-1}^na_k(k!)\frac{B_{k-(i-1)}}{[k-(i-1)]!} \]

将后一个分式的序列反向，就能凑出卷积了。