[NOI2006] 神奇口袋

之前遇到的题完全无印象，倒是本地有一份题解，略作修改放上来。

[NOI2006]神奇口袋

题目

一个口袋中先放有\(a_i\;(1\le a_i,\;1\le i\le t)\)个\(i\)颜色的球。若在第\(i\)次从中取到的球色为\(C_i\)，则要向口袋中放入\(d\)个与之同色的求，取到的球也要放回。每个球被取到的几率相同。

先给出\(Q=\{(x_n,y_n)\}\)，询问全部满足在第\(x_i\)次取球时取到颜色\(y_i\)的几率。

分析

结论

假设当前\(Q\)中的\(x\)有序。

结论一： \(Q\)中\(x\)离散后对结果无影响

证明：

设在第\(k\)次取球时，颜色\(c\)的数目为\(a[c]\)，球的总数为\(tot\)。可以得出：

在第\(k\)次取到\(c\)的几率为\(P_k=\dfrac{a[c]}{tot}\) 。又因为

• 在第\(k\)次取到\(c\)且在第\(k+1\)次也取到的几率为\(P_1=\dfrac{a[c]}{tot}\times\dfrac{a[c]+d}{tot+d}\)。
• 在第\(k\)次没取到\(c\)，但在第\(k+1\)取到的几率为\(P_2=\dfrac{tot-a[c]}{tot}\times\dfrac{a[c]}{tot+d}\)。

故在第\(k+1\)次取到\(c\)的几率为\(P_{k+1}=P_1+P_2=\dfrac{(tot+d)\times a[c]}{(tot+d)tot}=\dfrac{a[c]}{tot}\)。

即\(P_k=P_{k+1}\)。再经过简单归纳，即可证明结论一成立。

结论二： \(Q\)中\(y\)的出现顺序对结果无影响

证明：

设在第\(i\)次取球时，颜色\(c\)的数目为\(a[c]\)，球的总数为\(tot\)。对于\(y_i,y_{i+1}(1\le i<n)\)，有

• 若\(y_i=y_{i+1}\)，显然无影响
• 若\(y_i\not=y_{i+1}\)，则
  • 交换之前两组\((x,y)\)都成立的几率为\(P_1=\dfrac{a[y_i]}{tot}\times\dfrac{a[y_{i+1}]}{tot+d}\)。
  • 交换之后两组\((x,y)\)都成立的几率为\(P_2=\dfrac{a[y_{i+1}]}{tot}\times\dfrac{a[y_i]}{tot+d}\)。

发现\(P_1=P_2\)，即此时也无影响。同样的，略作归纳可知本结论成立。

算法

由以上两个结论的得出\(x\)的顺序无影响，\(y\)的循序也无影响。故可以直接在读入\(Q\)时对\(y\)依次处理即可。

注意此题需要用到高精度、GCD。为了方便处理，可以对分子分母进行分解。最终将两个数的各个因子合起来。

实例

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1010;
const int P=200000;
struct BigInt {
    int s[P],ws;
    BigInt(){s[1]=1;ws=1;}
    void Multi(int x) {
        for(int i=1;i<=ws;++i)s[i]=s[i]*x;
        for(int i=1;i<=ws;++i)s[i+1]+=s[i]/10,s[i]%=10;
        while(s[ws+1])++ws,s[ws+1]=s[ws]/10,s[ws]%=10;
    }
    void output(){for(int i=ws;i;--i) printf("%d",s[i]);}
}U,D;
int t,n,d,tot,a[N];
int cntp,pri[P],num[P];
bool notp[P]={1,1};
void addon(int x,int w) {
    for(int i=1; x&&i<=cntp; ++i) {
        while(x%pri[i]==0) num[i]+=w, x/=pri[i];
    }
}
int main() {
    for(int i=2; i<P; ++i) {
        if(!notp[i]) pri[++cntp]=i;
        for(int j=1; j<=cntp&&pri[j]*i<P; ++j) {
            notp[i*pri[j]]=1;
            if(i%pri[j]==0) break;
        }
    }
    scanf("%d%d%d",&t,&n,&d);
    for(int i=1; i<=t; ++i) {
        scanf("%d",&a[i]);
        tot+=a[i];
    }
    for(int i=1,x,y; i<=n; ++i) {
        scanf("%d%d",&x,&y);
        if(!a[y]) {puts("0/1"); return 0;}
        addon(a[y],1);
        addon(tot,-1);
        a[y]+=d, tot+=d;
    }
    for(int i=1; i<=cntp; ++i) {
        for(; num[i]>0; --num[i]) U.Multi(pri[i]);
        for(; num[i]<0; ++num[i]) D.Multi(pri[i]);
    }
    U.output();
    putchar('/');
    D.output();
    return 0;
}