数位dp真·浅谈 By cellur925
预警：由于是从$Vergil$学长那里和$Mathison$大神那里学来的，所以清一色记忆化搜索！qwq
巨佬的数位dp讲解（未来的咕咕日报头条）：
https://www.luogu.org/blog/virus2017/shuweidp
数位dp嘛，顾名思义...就是与每个数上的那位有关系...（废话）
一般问题形式都是，在区间$[l,r]$中，满足xx条件的数有多少。然后数据范围一般巨大，枚举是不可能的，这辈子是不可能的。所以一般我们都把它当做字符串处理，预处理出每一位的数（数位），即之后的$border$数组。先求出1~r内满足范围的数，在求出1~l-1范围内的数，运用前缀和的思想一减的。
关于处理成字符串：
一种高精处理方法
scanf("%s",p+1); int lenp=strlen(p+1); int last=lenp; while(p[last]=='0'&&last) last--; for(int i=last+1;i<=lenp;i++) p[i]='9'; p[last]--; for(int i=1;i<=lenp;i++) a[lenp-i+1]=p[i]-'0'; memset(dp,-1,sizeof(dp)); ans1=dfs(lenp,0,1); scanf("%s",q+1); int lenq=strlen(q+1); for(int i=1;i<=lenq;i++) a[lenq-i+1]=q[i]-'0'; memset(dp,-1,sizeof(dp)); ans2=dfs(lenq,0,1); printf("%d\n",ans2-ans1);
另一种暴力搞，longlong范围内才可。
l--; while(l) { border[++len]=l%10; l/=10; } memset(dp,-1,sizeof(dp)); ans1=dfs(len,0,1); len=0; while(r) { border[++len]=r%10; r/=10; } memset(dp,-1,sizeof(dp)); ans2=dfs(len,0,1); len=0; printf("%lld\n",ans2-ans1);
记忆化搜索？其实感觉他是dp的本质吧...（说错了不要打我啊qwq）。搜索我们要遍历所有状态，遍历完就溜，啥也不记下来，没心没肺；dp我们也要遍历全部状态，但是长心眼了，懂得存起来，用空间换时间；然后dp是和记忆化搜索学的，所以记忆化搜索也记录了搜过的状态，当现在搜的之前搜过，就直接调用之前的结果。Update：Vergil学长表示他认为dp的本质是最短路 把各状态当作图的节点，然后与开始节点连的边为初始值...
既然我们记搜了，那么肯定我们需要知道每次记录哪些量：一般地，我们会记到$pos$（现在在第几位，个人习惯从右往左为第1位到第$len$位）、$pre$（上一位是哪个数字，用于与上一位有关的情况）、$ling$前导零标记、$limit$最高位标记、$st$是否已经满足要求了，还有其他实际情况需要的。开始从主程序进来的时候，$ling$和$limit$都是1。
图自@Mathison真·大神
另外，当$limit=1$不能记录和调用dp值！当$ling=1$也不能调用记录dp值！
以上是概论，现在分两种题型扯几道例题。
第一种题型：问你数位满足是否有xx数 or 没有xx数
- 例1 hdu2089不要62
题目大意：问你$[l,r]$中不含4且不含连续62的数的个数。
真·入门题。因为不含，所以只要有4或62连续，之后我们就不用搜了。
1 #include<cstdio> 2 #include<algorithm> 3 #include<cstring> 4 5 using namespace std; 6 typedef long long ll; 7 8 int l,r,len; 9 int border[100]; 10 ll ans1,ans2,dp[10][12]; 11 12 ll dfs(int pos,int pre,int limit) 13 { 14 if(pos<1) return 1; 15 if(!limit && dp[pos][pre]!=-1) return dp[pos][pre]; 16 ll tmp=0; 17 ll lim=limit ? border[pos] : 9; 18 for(int i=0;i<=lim;i++) 19 { 20 if(i==4) continue; 21 if(i==2&&pre==6) continue; 22 tmp+=dfs(pos-1,i,(limit&&i==lim)); 23 } 24 if(!limit) dp[pos][pre]=tmp; 25 return tmp; 26 } 27 28 int main() 29 { 30 while(scanf("%d%d",&l,&r)!=EOF&&l!=0&&r!=0) 31 { 32 l--; 33 while(l) 34 { 35 border[++len]=l%10; 36 l/=10; 37 } 38 memset(dp,-1,sizeof(dp)); 39 ans1=dfs(len,0,1); 40 len=0; 41 42 while(r) 43 { 44 border[++len]=r%10; 45 r/=10; 46 } 47 memset(dp,-1,sizeof(dp)); 48 ans2=dfs(len,0,1); 49 len=0; 50 printf("%lld\n",ans2-ans1); 51 } 52 return 0; 53 }
- 例2 hdu3555Bomb
题目大意：问你1~n中含连续49的数的个数。
数位dp入门题。因为题目问的是“含”，所以我们必须记一个$st$，看之前是否满足。这里就不能像上一道题一样不满足直接$continue$掉了。因为之后还有希望满足啊qwq。
1 //求1~n 含有连续49的数字有多少 2 #include<cstdio> 3 #include<algorithm> 4 #include<cstring> 5 6 using namespace std; 7 typedef long long ll; 8 9 int T,len; 10 int border[200]; 11 ll dp[200][13][5]; 12 char sta[200]; 13 14 ll dfs(int pos,int pre,int st,int limit) 15 { 16 if(pos<1) return st; 17 if(!limit && dp[pos][pre][st]!=-1) return dp[pos][pre][st]; 18 ll tmp=0; 19 ll lim=limit ? border[pos] : 9; 20 for(int i=0;i<=lim;i++) 21 tmp+=dfs(pos-1,i,st||(i==9&&pre==4),limit&&i==lim); 22 if(!limit) dp[pos][pre][st]=tmp; 23 return tmp; 24 } 25 26 int main() 27 { 28 scanf("%d",&T); 29 while(T--) 30 { 31 scanf("%s",sta+1); 32 len=strlen(sta+1); 33 for(int i=1;i<=len;i++) 34 border[i]=sta[len-i+1]-'0'; 35 memset(dp,-1,sizeof(dp)); 36 printf("%lld\n",dfs(len,0,0,1)); 37 } 38 return 0; 39 }
- 例3 poj3208 Apocalypse Someday
第2种题型：问你数位是否满足一些比较复杂的要求（就不是上面那么简单了）
- 例1 [SCOI2009]Windy数
- 例2 [ZJOI2010]数字计数
- 例3 LuoguP3413萌数
- 例4 hihocoder#1791幸运数字
- 例5 bzoj1799[AHOI2009]同类分布
- 例6 某qbxt测试题
例题会尽量都补上的qwq
关于输出方案：本来想试着输出下方案的，后来发现实际输出的时候其实会少很多。因为我们记忆化！当一个状态下的值已经确定了，我们就不再切身实际地搜，而是直接调用之前结果了，也就方案会少输出了。当然，没记忆化的时候，显然我们可以输出全部方案。
数位dp。。。按Mathison大佬的话，还是非常套路模板化的，唯一要注意的是举一反三和前导零的处理...。
