Luogu P1429 平面最近点对 【分治】By cellur925

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题目大意：给定平面上n个点，找出其中的一对点的距离，使得在这n个点的所有点对中，该距离为所有点对中最小的。$n$<=100000。

 

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$Algorithm$

最朴素的$n^2$枚举肯定是不行了，我们在这个数量级只能考虑$nlogn$做法。那么与这个数量级比较相关的也就是分治了。 把整个平面分为两个部分，分别求出两个部分点对间最小的距离，之后再处理跨区域的情况。

• 分治法求解步骤： O(NlogN)  by hzwer
1 将点集 S 分为两个⼦集 SL 和 SR 分别求解
2 记 δ 为⼦集中求得的最优值（min(δL; δR)），合并两个集合求
解。
图中以分界线为中⼼，任何⼀个 2δ · 2δ 的正⽅形内，只有常
数个点，暴⼒ for 过去就好了。

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$Code$

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath> 

using namespace std;

int n;
int que[200090];
struct node{
    double x,y;
}p[200090];
bool cmp(node a,node b)
{
    return a.x<b.x;
}

bool cmp2(int a,int b)
{
    return p[a].y<p[b].y;
}

double dis(int i,int j)
{
    return sqrt((p[i].x-p[j].x)*(p[i].x-p[j].x)+(p[i].y-p[j].y)*(p[i].y-p[j].y));
}

double merge(int l,int r)
{
    double dd=1e8;
    if(l==r) return dd;
    if(l+1==r) return dis(l,r);
    int mid=(l+r)>>1;
    double dl=merge(l,mid);
    double dr=merge(mid+1,r);
    dd=min(dl,dr);
    
    int pos=0;
    for(int i=l;i<=r;i++)
        if(fabs(p[mid].x-p[i].x)<dd) que[++pos]=i;
    sort(que+1,que+1+pos,cmp2);
    for(int i=1;i<=pos;i++)
        for(int j=i+1;j<=pos;j++)
        {
            if(dis(que[i],que[j])>dd) break;
            double ddd=dis(que[i],que[j]);
            dd=min(dd,ddd);
        }
    return dd;    
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lf%lf",&p[i].x,&p[i].y);
    sort(p+1,p+1+n,cmp);
    printf("%.4lf",merge(1,n));
    return 0;
}

几个注意事项

• 边界的处理。

    if(l==r) return dd;
    if(l+1==r) return dis(l,r);

• 利用正方形里有常数个点的性质时，要及时$break$。否则会超时。
• 图中的$L$线大概是$mid$。开始找点的时候距离与他比较。