Luogu P1663 山【二分答案/实数域】By cellur925

题目传送门

现在要在山上的某个部位装一盏灯，使得这座山的任何一个部位都能够被看到。

给出最小的y坐标，如图的+号处就是y坐标最小的安装灯的地方。

 

这个题嘛...今年省选前学姐来我们（破烂）的机房串门的时候提到了这个题qwq学姐表示十分毒瘤qwq

压了很久今天终于做了qwq

 

因为问题说的太模糊了233，所以我们首先需要简化一下题意。（开始在如何判断能看到灯的问题上卡了很久）

题目其实说的是：把给出的（相邻的）拐点连成直线，找到一个点的纵坐标，使这个点在所有的直线上方或恰好在直线上。

仔细考虑一下这个其实是有二分单调性的，我们便可以二分要求的纵坐标。

首先我们把所有直线的信息求出（斜率、截距，详见必修2qwq）。

然后在二分答案的判定中，我们可以确定以二分出的答案为坐标的点在各直线上的横坐标。确定横坐标的范围，若横坐标范围是个合法的区间，我们就可以判定有解。

根据必修2的学习，我们知道斜率是一个易错点（逃），判定的时候需要分类讨论斜率大于0小于0等于0的情况（等于0很重要，防止整数被0除）

 

因为平时一直在做整数域上的二分，所以这次（恰巧打了一下实数域上的二分），这时需要尤其注意精度问题。

实数域二分例 eps用来控制精度，通常可取为1e-8

while(l+eps<r)
{
    double mid=(l+r)/2;
    if(check(mid)) r=mid;
    else l=mid;
}

而且在算直线信息的时候还要乘上那个1.0，在强制类型转换。

Code

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<utility>

using namespace std;
const double eps=1e-8;

int n;
pair<int,int>p[6000];
struct line{
    double k,b;
}li[6000];

bool check(double x)
{
    double l=-1000000,r=1000000;
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        if(li[i].k<0) l=max(l,(x-li[i].b)/li[i].k); 
        else if(li[i].k>0) r=min(r,(x-li[i].b)/li[i].k);
        else if(li[i].k==0&&li[i].b>x) return 0; 
    }
    return l<=r;
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d%d",&p[i].first,&p[i].second); 
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        li[i].k=1.0*(p[i+1].second-p[i].second)/(p[i+1].first-p[i].first);
        li[i].b=1.0*p[i].second-li[i].k*p[i].first;
    }
    double l=0,r=100000000;
    while(l+eps<r)
    {
        double mid=(l+r)/2;
        if(check(mid)) r=mid;
        else l=mid;
    }
    printf("%.2lf",l);
    return 0;
}