poj2893 M*N puzzle 【n*m数码问题小结】By cellur925

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这个问题是来源于lydrainbowcat老师书上讲排序的一个扩展。当时讲的是奇数码问题，其实这种问题有两种问法：一种局面能否到另一种局面、到达目标局面的最小步数。

本文部分内容引用于lydrainbowcat《算法竞赛进阶指南》。

一、判定问题是否有解

我们可以由简至难看这样几个问题：

1.

描述
	你一定玩过八数码游戏，它实际上是在一个3*3的网格中进行的，1个空格和1~8这8个数字恰好不重不漏地分布在这3*3的网格中。
	例如：
	5 2 8
	1 3 _
	4 6 7
	在游戏过程中，可以把空格与其上、下、左、右四个方向之一的数字交换（如果存在）。
	例如在上例中，空格可与左、上、下面的数字交换，分别变成：
	5 2 8 5 2 _ 5 2 8
	1 _ 3 1 3 8 1 3 7
	4 6 7 4 6 7 4 6 _
	奇数码游戏是它的一个扩展，在一个n*n的网格中进行，其中n为奇数，1个空格和1~n*n-1这n*n-1个数恰好不重不漏地分布在n*n的网格中。
	空格移动的规则与八数码游戏相同，实际上，八数码就是一个n=3的奇数码游戏。
	现在给定两个奇数码游戏的局面，请判断是否存在一种移动空格的方式，使得其中一个局面可以变化到另一个局面。

 奇数码问题两个问题可达，当且仅当他们网格中的数写成不含空格的序列后，两个序列的逆序对数的奇偶性相同。

（证明就不证了qwq）

2.

诸如此题，n*n的网格，只不过n是偶数。

这时候两局面可达当且仅当两序列的（逆序对数+两局面空格间行数差）的奇偶性相同

3.

扩展到n*m？

实际上对于是否有解关键的判定方法取决于列数。

当m为偶数 参考偶数码问题 求解

当n为偶数  参考奇数码问题 求解

 

本题就可以轻松愉悦地求解了==。

Code

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>

using namespace std;

int n,m,pos,x,ans,zero;
int seq[1000090],tmp[1000090];

void msort(int l,int r)
{
    if(l==r) return ;
    int mid=(l+r)>>1;
    msort(l,mid);
    msort(mid+1,r);
    int i=l,j=mid+1,k=l-1;
    while(i<=mid&&j<=r)
    {
        if(seq[i]<=seq[j])
            tmp[++k]=seq[i],i++;
        else tmp[++k]=seq[j],j++,ans+=mid-i+1;
    }
    while(i<=mid)
        tmp[++k]=seq[i],i++;
    while(j<=r)
        tmp[++k]=seq[j],j++;
    for(int qwq=l;qwq<=r;qwq++)
        seq[qwq]=tmp[qwq];
}

int main()
{
    while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF&&n!=0)
    {
        if(n==0) break;
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=1;j<=m;j++)
            {
                scanf("%d",&x);
                if(x) seq[++pos]=x;
                else zero=n-i;
            }
        msort(1,pos);    
        if(m&1)
            zero=0;
        if((ans+zero)%2==0)
            printf("YES\n");
        else printf("NO\n"); 
        ans=0;pos=0;zero=0;
    }
    return 0;
}

开始在主程序中调用msort(1,pos)时出锅了，写成了(1,n)，这zz错误也是让我无话可说....。

二、求解最小步数

这类问题一般采用bfs解决，好像还有A*哈希的方法，可是我太菜了不会.....

例题1 Luogu P1379 八数码难题

例题2 Luogu P2730魔板【USACO Trianing】

这个其实是一种变体了qwq。