动态规划基础复习 By cellur925

结束帝都的qbxt dp图论精讲班后，感觉自己依然很水，接下来的一周，不妨来复习一下讲课内容：）

动态规划是lyd讲的，上次在泉城讲数据结构，然鹅体验较差，这次虽说好了些，但还是比想象中的效果不好（还是我太菜了）。

本篇内容预警：理论知识偏多，warning。

引入：一个沙雕题（IOI1994-数字三角形）

最简单的dp模型，初学者好题。

所以dp到底是啥?可以说，dp是多阶段决策过程的最优化方法。仅就最优化而言，搜索与dp经常干一码事。（dp也常求解方案数）。

在把实际问题划分为dp模型时，我们常用到以下术语。（已经混淆很久）

　　阶段：每个子问题的求解过程。

　　状态：（本人经常与阶段弄混）粗糙地说，可以认为是阶段的细化再划分。沙雕题中，就是数塔每层的每一列。

　　转移：每个最优状态的选取过程

　　决策：每个最优状态的选取。

而状态转移方程将这几要素有机地进行结合，可以说，思考出转移方程，dp题基本就可拿下。我们思考dp题的目的也就是找出转移方程。

在这里我们作短暂的停留，转移方程常与递推式长的很像。lyd觉得很多人递推和dp傻傻分不清。

我们先给出他的答案：

举个例子

错排问题：这个问题有许多具体的版本，如在写信时将n封信装到 $n个不同的信封里，有多少种全部装错信封的情况？又比如四人各写一张贺年卡互相赠送，有多少种赠送方法？自己写的贺年卡不能送给自己，所以也是典型的错排问题。$

答案：F(n)=(n-1)*(F(n-1)+F(n-2))

怎么得出的呢？参考了一下wikipedia--

所以，lyd又说了--

再进行略微小结（怎么感觉开始大力抄课件..）

例题1 codevs核电站问题

是在序列上的问题，通常我们以下标为状态划分（虽说这是递推）

设f[i]为放到第i个坑位时的方案数。

我们可以分类讨论求解。（没错，oi中许多问题确实可以分类讨论）

显然每个坑位有两种选择：放或是不放。

　　当i<m，有f[i]=f[i-1]*2

　　当i==m,有f[i]=f[i-1]*2-1（这里不能再放了，否则会炸）

　　当i>m，有f[i]=f[i-1]*2-f[i-1-m]（减去不能放的方案数）

code

 1 #include<cstdio>
 2 #include<algorithm>
 3 
 4 using namespace std;
 5 typedef long long ll;
 6 
 7 int n,m;
 8 ll f[1000];
 9 
10 int main()
11 {
12     scanf("%d%d",&n,&m);
13     f[0]=1;
14     for(int i=1;i<=n;i++)
15     {
16         if(i<m) f[i]=f[i-1]*2;
17         else if(i==m) f[i]=f[i-1]*2-1;
18         else if(i>m) f[i]=f[i-1]*2-f[i-1-m];;
19     }
20     printf("%lld",f[n]);
21     return 0;
22 }