51nod 1265 四点共面——计算几何

题目链接：http://www.51nod.com/Challenge/Problem.html#!#problemId=1265

以其中某一点向其它三点连向量，若四点共面，这三个向量定义的平行六面体的体积为零。

而这个体积等于这三个向量的混合积，所以只要验证混合积是否为零。

　　　　　　　　　　　　|ax ay az|

而混合积(a,b,c)=(a×b)·c=   |bx by bz| 

　　　　　　　　　　　　|cx cy cz|

证明也不难：https://baike.baidu.com/item/%E6%B7%B7%E5%90%88%E7%A7%AF/10564182?fr=kg_general

所以只需验证ax*by*cz+ay*bz*cx+bx*cy*az-az*by*cx-ay*bx*cz-ax*bz*cy的值即可。

再提一句：空间向量a、b的叉积：a×b=(ax,ay,az)×(bx,by,bz)=(ay*bz-az*by , az*bx-ax*bz , ax*by-ay*bx)

#include<cstdio>
using namespace std;
struct Point{ int x,y,z; }p[3];
int main(){
    int t;
    int x,y,z;
    int ax,ay,az,bx,by,bz,cx,cy,cz;
    scanf("%d", &t);
    for(int k = 1; k <= t; ++k){
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);//第一个点坐标
        for(int i = 0; i < 3; ++i)//后三个点坐标
            scanf("%d%d%d",&p[i].x,&p[i].y,&p[i].z);
        ///构建向量
        ax=p[0].x-x; ay=p[0].y-y; az=p[0].z-z;
        bx=p[1].x-x; by=p[1].y-y; bz=p[1].z-z;
        cx=p[2].x-x; cy=p[2].y-y; cz=p[2].z-z;
        ///混合积
        if(ax*by*cz+ay*bz*cx+bx*cy*az-az*by*cx-ay*bx*cz-ax*bz*cy == 0)
            puts("Yes");
        else puts("No");
    }
    return 0;
}