卡特兰数
一、卡特兰数简介
卡特兰数是组合数学中的一种著名数列，通常用如下通项式表示：
\[f(n) = \frac{C{n \atop 2n}}{n+1}
\]
递推表示：
\[f(n) = \sum^{n-1}_{i=0}{f(i)*f(n-i-1)}
\]
组合表示:
\[f(n) = C^n_{2n}-C^{n-1}_{2n}
\]
二、卡特兰数应用
1.一个栈(无穷大)的进栈序列为1，2，3，…，n，有多少个不同的出栈序列?
2.有一个长度为2n的01序列，其中1,0各n个，要求对于任意的整数k∈[1,n]，数列的前k个数中，1的个数不少于0。
三、解决卡特兰数
构造:从坐标（0，0）到（2n，0），每一步两种走法：(x+1 , y+1)或(x-1 , y-1).条件：任何时候y不能小于0.求多少走法.
解：就是说走的路径不应该穿过x轴，即直线y=0，也就是不接触y=−1于是我们把与y=−1的接触点的右边整条路径以y=−1为对称轴翻折，于是终点变为了(2n,−2)
那么此时，从(0,0)到(2n,−2)的路径必定至少穿过一次y=−1，不满足条件，那么此时的路径数量即为总路径数中不符合题意的路径数，那么我们用总路径数减去不符合的路径数，就是最终的答案。
