[学]从零（多项式基础与FFT）开始BM学习笔记

好记性不如烂键盘|ू･ω･` )

众所周知红小豆没有一点点数学基础，只好从爬出土开始

只是个人的学习笔记，如果有什么地方不清楚可见下列神仙的blog

参考神仙blog：大佬整理的大佬的多项式相关的思路https://www.cnblogs.com/yoyoball/p/8724115.html

　　　　　　　大佬的多项式乘法与FFThttp://blog.miskcoo.com/2015/04/polynomial-multiplication-and-fast-fourier-transform

　　　　　　　大佬的多项式除法http://blog.miskcoo.com/2015/05/polynomial-division

　　　　　　　大佬的多项式求逆http://blog.miskcoo.com/2015/05/polynomial-inverse

　　　　　　　大佬的BM原理https://zerol.me/2018/02/06/linearly-recurrent-sequence/

　　　　　　　大佬的BM及板子https://www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/Berlekamp-Massey.html

　　　　　　　杜教的板子和一道题https://www.cnblogs.com/zhgyki/p/9671855.html

 

 

从多项式开始

 

　　多项式的系数表示法：系数可看作n+1维向量　　点值表示法：(xi,A(xi))

　　n次单位根即满足zⁿ=1的复数，分布在复平面的单位圆上构成一个正n边形。由复数乘法  模长相乘，幅角相加（突然想到电路分析。。）知n次单位根的模长为1，幅角的n倍为0——e^2πki/n,k=0,1,2,⋯,n−1，可通过欧拉公式进行算术表示。

 

　　用w表示e2πk/n，n个n次根w_n⁰、w_n¹、w_n²……

　　多项式的乘法，就像手算一样一项一项去乘的话是O(n²)的，而用点值表示的话，只需要将n+1个点依次相乘就可以得到新的多项式的点值表示，现在的问题就是点值表示与系数表示的转换方法。

 

快速傅里叶变换（FFT）

　　可分为O(nlogn)的DFT（离散F变换）部分（数到点）和同样复杂度的IDFT（F逆变换）部分（点到数）

　　　Cooley-Turkey算法  设n-1次多项式A(x)，n=pow(2,m)若不足可视高次项系数为0，将A(x)的每一项按指数奇偶分类，则

　　　　A(w_n^k)=Σa_i*w_n^ki(i∈[0,n-1]）

　　　　　　　=Σa_2i*w_n^2ki(i∈[0,n/2-1]）+Σa_2i+1*w_n^k(2i+1)(i∈[0,n/2-1]）

　　　　　　　=Σa_2i*w_n^2ki(i∈[0,n/2-1]）+ w_n^k *Σa_2i+1*w_n^2ki(i∈[0,n/2-1]）

　　　看起来还是有n个要代入，而由单位根指数部的变换可知w_n²=w_n/2（写成e的形式就很清楚了），所以实际上少了一半（证明可从单位圆等分对称的正负值的平方相等入手）.

　　　于是对于k<n/2，A(w_n^k)=Σa_2i*w_n/2^ki(i∈[0,n/2-1]）+ w_n^k *Σa_2i+1*w_n/2^ki(i∈[0,n/2-1]）

　　　　　　　　　　A(w_n^k+n/2)=Σa_2i*w_n/2^ki(i∈[0,n/2-1]）- w_n^k *Σa_2i+1*w_n/2^ki(i∈[0,n/2-1]）（转了一半从正变负的感觉。。）

　　　　于是这一部分DFT就可以递归计算了。

　　　IDFT是DFT的逆，是解n个方程的线性方程组，现在知道(w，A(w))了，要求向量a。

　　　令V为系数矩阵（由w们组成），令d_ij=w_n^-ij，d∈D，E=D·V，当i==j时，e_ij=n，否则为0（这个。。大佬的blog中的这个式子虽然推出来了，但是一时不知道为什么等于0，暂且一放），E为单位矩阵的n倍，即1/nD=V^-1。原来的V·a = A 就可以变换为 a =1/nD·A，将上一部分的DFT中的w_nⁱ变为w_n^-i再做一次之后除以n就是所求结果了。

 

　　　　conj()返回复共轭（记到小本本上）　打w表的时候把w^-i一起打下来。

　　　　　应用：快速卷积、生成函数运算、多项式除相关、多项式多点求值和快速插值

 

此处应当还有一块快速数论变换（FNT）来解决精度问题但现在没有_(:з」∠)_

 

可以求逆元了O(nlogn)

　　A(x)B(x)≡1（mod xⁿ）&&  deg B ≤ deg A　　则　　B(x)=A^-1(x)　　　（话说搜狗输入法说≡叫全等于，姑且当同余号用吧。。

　　当n==1时，A(x)≡c(mod x)　　A^-1(x)==c^-1;

　　当n>1时，设 A(x)B(x)≡1(modxⁿ)

　　　　　　由 A(x)B'(x)≡1(mod x^⌈n/2⌉)  &&  A(x)B(x)≡1(mod x^⌈n/2⌉)　（将mod的数缩小到二分之一，可以类比为9%8和9%4的关系，仍成立）

　　　　　　相减可得 B(x)-B'(x)≡0(mod x^⌈n/2⌉)

　　　　　　两边平方，模里的 x^⌈n/2⌉ 也平方，意义为 mod xⁿ为0的多项式其0到n-1项系数均为0，在多项式平方后，其0到2n-1项系数也均为0(某次数项的系数由小于等于其次数的项的系数组成)，则mod平方后仍成立。

　　　　　　得到 B(x)≡2B'(x)−A(x)B'²(x) (mod xⁿ) ,本式建立在n==1有解的前提下，即一个多项式在mod xⁿ下是否有逆元取决于其常数项在mod xⁿ下是否有逆元

　　现在，利用FFT/FNT递归把上式的多项式乘法算出来，就获得了B(x)啦。

　　应用：预处理Bernoulli数、计算有标号简单连通无向图个数

　　

来除吧！

　　A(x)=D(x)B(x)+R(x)　　degD≤degA-degB(即n-m),degR<m

　　看起来要先消除掉R(x)才能开始除呢。首先，系数反转的方法：A^R(x)=xⁿA(1/x)

　　将原式每一个多项式都视作最高次数（D为n-m，R为m-1，反正过高次的项系数视为0），然后全部反转，这个时候D(x)或者说目前的DR(x)本身的次数仍没有超过n-m，而R(x)与其前的xn-m+1整体的次数高于n-m（B和D前面的x可以凑在一起就可以和A前面的约掉）。根据mod的知识，这个时候只要mod一下x^n-m+1，原式就会变成：

　　A^R(x)=D^R(x)B^R(x) ( mod x^n-m+1 )　　

　　然后来求逆元吧！求完之后再反转回来再代入求解R(x)

　　应用：多项式的扩展欧几里得、乘法逆元、多点求值

 

190723 ->实现代码要写的，后面的BM也要写的，但我需要站起来一会儿了_(:з」∠)_