上一篇《【几何系列】向量：向量乘法（标量积、向量积）和向量插值》讲了向量，向量是特殊的矩阵，行向量是 $n\times 1$ 矩阵，列向量是 $1\times n$ 矩阵。
一般的 $m\times n$ 矩阵是由 $mn$ 个元素排列成 $m$ 行 $n$ 列的表。
矩阵乘法
矩阵加法和标量乘法都是直观的，不做过多赘述。
而矩阵乘法是最重要的运算，但是它的定义却并非直观：
对于矩阵 $A_{l\times m}=(a_{ij})$ 和矩阵 $B_{m\times n}=(b_{ij})$ 相乘，得到矩阵 $P_{l\times n}=(p_{ij})$，即 $P=AB$，有：
$$p_{ij}=\sum _\nu a_{i\nu}b_{\nu j}$$
例如：
$$\begin{bmatrix}
2 & 1 & 0\\
1 & 2 & 5
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
1\\
-1\\
4
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
2\times 1+1\times (-1)+0\times 4\\
1\times 1+2\times (-1)+5\times 4
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
1\\
18
\end{bmatrix}$$
直观理解矩阵乘法
《A Programmer’s Intuition for Matrix Multiplication》给出了 3 种直观理解矩阵乘法的思路，我认为值得借鉴。
思路 1：矩阵乘法是对几何平面的缩放/旋转/倾斜等
如果把矩阵 B 看作是平面或超平面上的数据的话，那么左乘矩阵 A 的确可以看作是几何变换。事实上，几何变换就是本系列非常关注的背景。
思路 2：把矩阵乘法理解为线性映射
这是一个技术上非常准确的说法，即线性变换的角度。
据维基百科上的解释，矩阵最开始的引入（1812 年的法国数学家 Jacques Philippe Marie Binet）也是为了表示线性映射的函数组合（function composition）。它的要点是：
已知 $n$ 维列向量：
以及作用于该列向量的线性映射 $A$，它将 $n$ 维列向量映射为 $m$ 维列向量：
注意到这里我们发现已经用到矩阵表示了。
左乘 $n$ 维向量，这个矩阵左乘的动作，实际表示映射，表示函数。它把 $n$ 维向量，映射/变换为 $m$ 维向量。
接下来，如果已知另一个线性映射 $B$，它可以将 $m$ 维向量空间映射到 $p$ 维向量空间。通过计算，会发现矩阵 B 和矩阵 A 的乘法 $BA$，可以表示组合映射（composite map）$B\circ A$，而组合映射的含义可以简单用下式表示：
即矩阵 $B$ 左乘矩阵 $A$ 的动作，是把原始映射/函数 $A$ 进行了重新组合，成为了一个新的映射/函数：$BA$。
总而言之，从这个思路来看，可以把矩阵乘法看作是：对右侧的矩阵实施一个线性变换的函数。
思路 3：把矩阵乘法看做是信息流，依次对数据进行编码转换。
从这个角度，把某些矩阵看作数据，某些矩阵看作是操作数据的函数。矩阵乘法就是一个对数据执行操作的工作流。
希望这几个思路能够对矩阵乘法产生足够多的直观感受。矩阵乘法是如此重要，可以说怎么多说都不为过。
矩阵乘法的性质
矩阵乘法满足分布律和结合律：
$$A(B+B')=AB+AB', (A+A')B=AB+A'B$$
$$(AB)C=A(BC)$$
但是矩阵乘法不满足交换律：
$$AB\neq BA, usually$$
如果理解了前面的思路 2（线性映射）的话，会发现这是显然的。
情况 1：把 $x$ 先执行映射 $A$ 得到一个中间结果 $x'$，再对它执行映射 $B$ 得到最后结果；
情况 2：把 $x$ 先执行映射 $B$ 得到一个中间结果 $x''$，再对它执行映射 $A$ 得到最后结果。
这两种情况显然不是同一回事，事实上甚至不能同时满足映射 $A$ 和 $B$ 对输入维度的要求。
不过如果凑巧 $AB=BA$，则称 $A$ 和 $B$ 是可交换的。
单位矩阵
单位矩阵对应实数中 1 的概念。
首先，$a_{ii}$ 称为矩阵中的对角元素。
如果矩阵中的非零值都是对角元素，则称为对角矩阵。
单位矩阵定义为：对角元素都为 1 的 $n\times n$ 对角矩阵，记为 $I_n$ 或者 $I$。
矩阵 $A$ 乘以单位矩阵就是 $A$ 自身：
$$AI=IA=A$$
从几何变换的角度来说，乘以单位矩阵不会改变原有的几何状态；从线性映射的角度来说，单位矩阵就是输入等于输出的映射。
矩阵的逆
$A$ 是 $n\times n$ 方阵，如果存在矩阵 $B$ 满足 $AB=I$ 且 $BA=I$，则 $B$ 是 $A$ 的逆或逆矩阵，记为 $A^{-1}$，即有 $A^{-1}A=I=AA^{-1}$。
存在逆的矩阵称为可逆矩阵。
首先，逆矩阵具有唯一性：如果 $A$ 存在逆矩阵，那么只能有一个逆矩阵。
此外，如果 $A$ 和 $B$ 都是 $n\times n$ 的可逆矩阵，那么必然有：
- $AB$、$A^{-1}$、$B^{-1}$ 都是可逆的；
- $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$、$(A^{-1})^{-1}=A$；
- $(A_1,\cdots ,A_m)^{-1}=(A_m^{-1},\cdots ,A_1^{-1})$
OK，以上是定义和性质。那么，逆矩阵究竟意味着什么？
线性映射中的逆的意义
对于一个向量 $x$，假设它经过左乘一个映射 $A$，变成了向量 $Ax$；那么我们再假设，这个映射 $A$ 存在一个逆 $A^{-1}$，我们让向量 $Ax$ 左乘这个逆，得到什么？$A^{-1}Ax=Ix=x$，得到原来的向量 $x$！
这个逆 $A^{-1}$ 抵消了 $A$ 对于向量 $x$ 的影响。也就是说，矩阵和它的逆就像函数与反函数、作用力与反作用力的关系一样。
几何变换中的逆的意义
考虑矩阵 $A$：
$$A=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}
1 & -1\\
1 & 1
\end{bmatrix}$$
它的作用是绕原点逆时针旋转 45°：
它的逆矩阵为：
$$A^{-1}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}
1 & 1\\
-1 & 1
\end{bmatrix}$$
它的作用刚好相反，绕原点顺时针旋转 45°：
所以说类似地，如果说矩阵 $A$ 代表某种几何变换的话，$A^{-1}$ 就是正好与之相反的几何变换。
可逆与不可逆
那么，不可逆又意味着什么？ 也许从几何变换的角度更容易理解。
不可逆意味着这个几何变换是无法“抵消”的，由于几何实体的维度和表征能力降低，无法再将变换后的几何形状变换回去。例如：将正方形变换成了一条线或者一个点。
经过不可逆的矩阵
$$A=\begin{bmatrix}
0 & 0\\
0 & 1
\end{bmatrix}$$
变为：
或者经过不可逆的矩阵
$$B=\begin{bmatrix}
0 & 0\\
0 & 0
\end{bmatrix}$$
变为：
此时没有任何对应的矩阵乘法可以将其变换回去了。
参考
- A Programmer’s Intuition for Matrix Multiplication
- An Intuitive Guide to Linear Algebra
- Wiki: Matrix multiplication
- 《Algebra》by Michael Artin
- 《Rotation Transforms for Computer Graphics》by John Vince
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