线性代数 3B1B 笔记

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概念

秩Rank

基础变换后的空间维数

线性相关

一组向量至少有一个是多余的，没有对张成空间做出任何贡献
At least one of these vectors is redundant, not adding anything to our span.

解释

你有多个向量，并且可以移除其中一个，而不减小张成空间。
Whenever this happens, where you have multiple vectors, and you could remove one without reducing the span

因为多余的向量已经落在其他向量的张成空间中，多余的向量可以表示为其他向量的线性组合
can be expressed as a linear combination of the others, since it's already in the span of the others.

线性无关

反之，所有的向量都给张成空间添加了新的维度。
if each vector really does add another dimension to the span

线性表出

表示出来：将向量表示为一组基向量的线性组合的过程

设两个 n 维向量组 α1,α2,··,αs(I）和 β1,β2,·.·,βt(II)
若 I 中的每一个向量都可以由 II 表出，则称 I 可由 II 线性表出。并且有 r(α1, q2, .., αs) ≤ r(β1, β2, ... , βt)
这很容易理解：秩代表向量组所处空间的最低维度，位于低维空间的向量组没法表示位于高维空间中的向量组。