lim_{x→0} f(x)/x²=1，求证f'(0)=0

https://zhidao.baidu.com/question/562061615914420004.html

确定0比0型$\frac{0}{0}$

x→0时，(1-cos x)→0，且$\frac{f(x)}{1-\cos x}$的极限存在
则x→0时，f(x)→0。（否则，$\underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x)}{1-\cos x}=\infty$）

导数定义+构造辅助分式

又因为f(x)在x=0的某邻域内连续，根据函数在某点连续的定义，有f(0)=$\underset{x\to 0}{lim}f(x)=0$。
则$\underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to 0}{lim}(\frac{f(x)}{1-\cos x}·\frac{1-\cos x}{x})$
其中$\underset{x\to 0}{lim}\frac{1-\cos x}{x}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin x}{1}=0$

lim(A*B)=lim A*lim B

根据极限的四则运算法则，有

$$\underset{x\to 0}{lim}(\frac{f(x)}{1-\cos x}·\frac{1-\cos x}{x})=\underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x)}{1-\cos x}·\underset{x\to 0}{lim}\frac{1-\cos x}{x}=2·0=0$$

导数定义

因为$f^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\underset{x\to h}{lim}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$
所以$f^{\prime }(0)=\underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=0$