结论
本文的推导顺序：
\[\begin{align}
κ=&\frac{1}{r} \tag{1}\\
=&\frac{1}{|\vec{v}|}=\frac{|\frac{d\vec{T}}{dt}|}{|\vec{v}|}=|\frac{ \frac{d\vec{T}}{ \cancel{dt} } }{\frac{ds}{ \cancel{dt} }}|=|\frac{d\vec{T}}{ds}| \tag{2}\\
=&\frac{|\frac{d^2y}{dx^2}|}{(1+(\frac{dy}{dx})^2)^{\frac{3}{2}}}=\frac{|y''|}{(1+y'^2)^{\frac{3}{2}}} \tag{3}
\end{align}
\]
| 分析角度 |
t |
s(t) |
r |
v |
T |
| s=内切辅助圆路程 |
时间刻 |
关于t的圆函数 |
⊙s的半径 |
⊙s的线速度 |
假设⊙s的角速度dT=1 rad/s |
| s=曲线轨迹 |
时间刻/角度 |
关于t的曲线轨迹函数 |
无 |
在曲线一点上，弯曲的速度 |
总时间/角度差/线加速度方向 |
此处ds=d\(|\vec{s}|\)，因为懒得写了。毕竟对距离微分更常用，对向量微分 这里只强调d\(\vec{T}\)
本文只讨论x与y的直角坐标系，你也可以自己推导r与θ的极坐标系
😊看不懂不要紧，我们马上一一推导
(1)显而易见的定义：曲率与半径成反比
为了测量曲线的曲率κ，我们的先哲选择了圆：
在曲线一点上，内切出一个圆。用此圆半径的反比，来衡量曲率的大小。
也可用极限思想来理解：
∵\(\lim\limits_{κ→0}\)曲线=直线； \(\lim\limits_{κ→+∞}\)曲线=圆
∴曲率\(κ=\frac{1}{r}\)，其中r是圆半径
(2)引入临时变量t：既是时间刻，又是角度
圆s轨迹
此矩阵可以看成是一个关于t的一元一次方程组，t为未知量，r为常数已知量
\[\vec{s}=s(t)=
\left[\begin{matrix}
r·\cos t \\
r·\sin t
\end{matrix}\right] = x^2+y^2 = r^2
\]
此时有
\[\vec{v}=s'(t)=
\left[\begin{matrix}
r·(-\sin t) \\
r·\cos t
\end{matrix}\right],
|\vec{v}|=r\sqrt{sin^2 t+cos^2 t}=r
\]
证得：\(\frac{1}{r}=\frac{1}{|\vec{v}|}\)
我们需要一个\(\vec{T}\)，将曲线轨迹转换成内切辅助圆，并获得\(|\frac{ d\vec{T} }{dt}|\)=1的结论
\[\vec{T}=\frac{ \vec{v} }{ |\vec{v}| }=
\left[\begin{matrix}
-\sin t \\
\cos t
\end{matrix}\right]
\]
\[\frac{ d\vec{T} }{dt}=
\left[\begin{matrix}
-\cos t \\
-\sin t
\end{matrix}\right],
\left| \frac{ d\vec{T} }{dt} \right|=1
\]
ps：判断函数凹凸性，也要开二次导
下面讲解：为什么恰好\(|\frac{ d\vec{T} }{dt}|\)=1
dT=t=单位1
t为刻度值，对T微分后≈刻度值，故dT=t。积分后T=Δt。
我们假设：做的辅助内切圆s，其角速度dT=1 rad/s
毕竟我们最后会把中间参数t抵消，不让t参与曲率公式的计算；我们实际用公式时，也不关心t。
基于这个假设，我们有：1=\(|\frac{d\vec{T}}{dt}|\)=|角加速度|
证得：\(\frac{1}{|\vec{v}|} = \frac{|\frac{d\vec{T}}{dt}|}{|\vec{v}|}\)
ps:而角加速度=1，是因为此时s是一个圆，sin、cos函数怎么求导都不会消失，√sin²+cos²=1永远成立。
高中物理
- 线速度\(\vec{v}=s'(t)=\frac{ds}{dt}\)，s'(t)是对t求一次导后的函数
- \(|\vec{v}|=|\frac{ds}{dt}|\)
证得：\(\frac{|\frac{d\vec{T}}{dt}|}{|\vec{v}|}=|\frac{ \frac{d\vec{T}}{ \cancel{dt} } }{\frac{ds}{ \cancel{dt} }}|\)。上下对同一个变量t求导，相当于$|\frac{d\vec{T}}{ds}| $
(3)转为可计算的直角坐标系
弧长ds
\[ds=\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}=dx\sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2}
\]
角度微元dT
角度正切值 与 微元/求导 互转：
\[\tan t=\frac{dy}{dx}
\]
两边对x求导：
\[\begin{align}
\frac{d}{dx}(tan t)=&\frac{d}{dx}(\frac{dy}{dx}) \\
(1+\tan^2 t)\frac{d \vec{T} }{dx}=&\frac{d^2y}{dx^2} \\
∴d\vec{T}=\frac{ \frac{d^2y}{dx^2} }{ (1+\tan^2 t) }dx=&\frac{ \frac{d^2y}{dx^2} }{ 1+(\frac{dy}{dx})^2 }dx
\end{align}
\]
得证
\[κ=|\frac{d\vec{T}}{ds}|=\frac{d|\vec{T}|}{ds}= \frac{|\frac{d^2y}{dx^2}| \cancel{dx} } {(1+(\frac{dy}{dx})^2)^{\frac{3}{2}} \cancel{dx} }=\frac{|y''|}{(1+y'^2)^{\frac{3}{2}}}
\]
