算法·数学

数学：

证明方法：反证法，双向证明法

质因数

约数：

• 试除法
• 约数个数 (a1+1)(a2+1)...(an+1)=$\prod _1^{\mathrm{约}\mathrm{数}\mathrm{个}\mathrm{数}}(a_i+1)$
• 约数之和 (p1^0 +p1^1 +...+p1^a1)...=$\prod _1^{\mathrm{约}\mathrm{数}\mathrm{个}\mathrm{数}}\sum _{i=0}^{\mathrm{每}\mathrm{个}\mathrm{约}\mathrm{数}\mathrm{重}\mathrm{复}\mathrm{次}\mathrm{数}{a}_i}(b^i)$
  gcd最大公约数——辗转相除法(欧几里得算法)

证明：gcd(a,b) = gcd(b,a%b)
4|2，竖杠代表能整除
设a%b = a - kb 其中k = a/b(向下取整)
若d是(a,b)的公约数 则知 d|a 且 d|b 则易知 d|a-kb 故d也是(b,a%b) 的公约数
若d是(b,a%b)的公约数 则知 d|b 且 d|a-kb 则 d|a-kb+k*b = d|a 故而d同时整除a和b 所以d也是(a,b)的公约数
(双向证明)
因此(a,b)的公约数集合和(b,a%b)的公约数集合相同 所以他们的最大公约数也相同 证毕

• 最小公倍数

快速幂

分位数

个人理解：小数向上取整，整数向上找数求中位数——都是为了选择时，一定包括第一个小于xx%的数
求 $x_{50\mathrm{\%}}$，假设5个数据，则选择较小的一半数据时，一定包含第3个数据；假设4个数据，一定包含第2个数据