Prufer序列

Prufer序列是一种将树和序列双向映射的方式

构造方法：

1. 统计树上结点的度数 $degre{e}_i$
2. 找到所有叶子结点 $(degre{e}_i==1)$ 中编号最小的 $x$，输出 $f{a}_x$
3. 将 $f{a}_x$ 的度数减 $1$
4. 重复步骤 $2-3$，直到只剩下 $n-2$ 个元素为止

性质：

1. 树上结点编号在prufer序中出现的次数为 $degre{e}_x-1$ 次
2. 最后剩下的 $2$ 个点中，一定包含编号为 $n$ 的结点

下面为获得prufer序的代码：

void to_prufer()
{
	for(int i=1;i<=n;i++)du[i]++,du[fa[i]]++;
	int cur;
	for(int i=1;i<=n;i++)if(du[i]==1)
	{
		cur=i;
		break;
	}
	int leaf=cur;
	for(int i=1;i<=n-2;i++)
	{
		int f=fa[leaf];
		prufer[i]=f;
		du[f]--;
		if(du[f]==1 && f<cur)
		{
			leaf=f;
			continue;
		}
		cur++;while(du[cur]!=1) cur++;
		leaf=cur;
	}
}
//要以n为根

下面为获得树的代码：

void to_tree()
{
	for(int i=1;i<=n;i++) du[i]=1;
	for(int i=1;i<=n-2;i++) du[prufer[i]]++;
	int cur;
	for(int i=1;i<=n;i++)if(du[i]==1)
	{
		cur=i;
		break;
	}
	int leaf=cur;
	for(int i=1;i<=n-2;i++)
	{
		int f=fa[leaf]=prufer[i];
		du[f]--;
		if(du[f]==1 && f<cur)
		{
			leaf=f;
			continue;
		}
		++cur;while(du[cur]!=1) cur++;
		leaf=cur;
	}
	fa[leaf]=n;
}

应用：

1. $n$ 个点的无向完全图的不同生成树的个数 $n^{n-2}$
2. $n$ 个点的无根树的方案数 $n^{n-2}$
3. $n$ 个点的有根树的方案数 $n^{n-1}$
4. $n$ 个点，第 $i$ 个点的度数为 $degre{e}_i$ 的无根树的方案数 $\frac{(n-2)!}{\prod _{i=1}^n(degre{e}_i-1)!}$