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图论专场

Fairy(CF19E)

题目大意

给出一张无向图，求删除一条边后此图变成二分图的所有删边种类 $(n \leq 10^{4})$ 。

思路

虽然看起来 $O (n^{2})$ 能过，但其实是过不了的，我们知道，判断二分图的一种方式是判断有无奇环，所以问题变成了删去一条边后图中有无奇环，如果有环重合，可以用类似异或的逻辑将中间重复的取消，在看成一个环，明显发现只有偶环+奇环=奇环，然后就做完了。

 #include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define mm 10010
using namespace std;
int read()
{
    int x=0,f=1;
    char ch=getchar();
    while(ch<'0' || ch>'9')
    {
        if(ch=='-')
            f=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(ch>='0' && ch<='9')
    {
        x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48);
        ch=getchar();
    }
    return x*f;
}
struct node{
    int nxt,v,id;
}e[mm<<2];
int head[mm<<2],tot=1,dfn[mm];
int n,m,ans[mm],p[mm],f[mm],Ans;
int c1[mm],c2[mm],cnt;
void ADD(int x,int y,int id)
{
    e[++tot]=(node){head[x],y,id};
    head[x]=tot;
}
void dfs(int x,int fa,int pre)
{
    dfn[x]=dfn[fa]+1;
    p[x]=e[pre].id;
    for(int i=head[x],v=e[i].v;i;i=e[i].nxt,v=e[i].v)
    {
        if((i^pre)==1)
            continue;
        if(!dfn[v])
        {
            dfs(v,x,i);
            f[e[i].id]=1;
            c1[e[pre].id]+=c1[e[i].id];
            c2[e[pre].id]+=c2[e[i].id];
        }
        else
        {
            if(x==v && i&1)
                ++c1[e[i].id],++cnt;
            else
            {
                if(dfn[x]>dfn[v])
                if((dfn[x]-dfn[v])&1)
                {
                    ++c2[e[i].id];
                    ++c2[e[pre].id];
                    --c2[p[v]];
                }
                else
                {
                    ++c1[e[i].id];
                    ++c1[e[pre].id];
                    --c1[p[v]];
                    ++cnt;
                }
            }
        }
    }
}
void print()
{
    printf("%d\n",Ans);
    for(int i=1;i<=Ans;i++)
        printf("%d ",ans[i]);
}
int main()
{
    n=read(),m=read();
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int x=read(),y=read();
        ADD(x,y,i);
        ADD(y,x,i);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(!dfn[i])
            dfs(i,0,0);
    if(!cnt)
    {
        for(int i=1;i<=m;i++)
            ans[++Ans]=i;
        print();
        return 0;
    }
    for(int i=1;i<=m;i++)
        if(f[i])
        {
            if(c1[i]==cnt && !c2[i])
                ans[++Ans]=i;
        }
        else
        {
            if(cnt==1 && c1[i]==1)
                ans[++Ans]=i;
        }
    print();
    return 0;
}

Connecting Cities(AT_keyence2019_e)

题目大意

给定 $N$ 个点的完全图图，每个点有权值 $A_{i}$ 。对于任何点 $i$ 和点 $j$ ，这两点之间的边权为 $w_{i, j} = A_{i} + A_{j} + D | i - j |$ ，其中 $D$ 为给定的常数，求最小生成树的大小。 $(N \leq 2 \times 10^{5}, A_{i}, D \leq 10^{9})$

思路

还是用 $p r i m$ 或 $K r u s k a l$ ，但这题不可以全部连边，可以发现有些边是不必要的，先考虑把式子简化，我们如果确定这两个 $i$ 和 $j$ ，可以变成 $A_{i} + D \times i + A_{j} - D \times j$ 。

既然 $i$ 和 $j$ 独立出来，那么只需要选出，右半部分 $m i n A_{i} + D \times i$ 所对应的 $i$ ，左半部分 $m i n A_{j} + D \times j$ 所对应的 $j$ ，将 $j$ 与右半部分所有点连边， $i$ 同理，这样边就只有 $O (n l o g_{n})$ ，最后跑 $K r u s k a l$ 。

 #include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define mm 10010
using namespace std;
int read()
{
    int x=0,f=1;
    char ch=getchar();
    while(ch<'0' || ch>'9')
    {
        if(ch=='-')
            f=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(ch>='0' && ch<='9')
    {
        x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48);
        ch=getchar();
    }
    return x*f;
}
struct node{
    int nxt,v,id;
}e[mm<<2];
int head[mm<<2],tot=1,dfn[mm];
int n,m,ans[mm],p[mm],f[mm],Ans;
int c1[mm],c2[mm],cnt;
void ADD(int x,int y,int id)
{
    e[++tot]=(node){head[x],y,id};
    head[x]=tot;
}
void dfs(int x,int fa,int pre)
{
    dfn[x]=dfn[fa]+1;
    p[x]=e[pre].id;
    for(int i=head[x],v=e[i].v;i;i=e[i].nxt,v=e[i].v)
    {
        if((i^pre)==1)
            continue;
        if(!dfn[v])
        {
            dfs(v,x,i);
            f[e[i].id]=1;
            c1[e[pre].id]+=c1[e[i].id];
            c2[e[pre].id]+=c2[e[i].id];
        }
        else
        {
            if(x==v && i&1)
                ++c1[e[i].id],++cnt;
            else
            {
                if(dfn[x]>dfn[v])
                if((dfn[x]-dfn[v])&1)
                {
                    ++c2[e[i].id];
                    ++c2[e[pre].id];
                    --c2[p[v]];
                }
                else
                {
                    ++c1[e[i].id];
                    ++c1[e[pre].id];
                    --c1[p[v]];
                    ++cnt;
                }
            }
        }
    }
}
void print()
{
    printf("%d\n",Ans);
    for(int i=1;i<=Ans;i++)
        printf("%d ",ans[i]);
}
int main()
{
    n=read(),m=read();
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int x=read(),y=read();
        ADD(x,y,i);
        ADD(y,x,i);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(!dfn[i])
            dfs(i,0,0);
    if(!cnt)
    {
        for(int i=1;i<=m;i++)
            ans[++Ans]=i;
        print();
        return 0;
    }
    for(int i=1;i<=m;i++)
        if(f[i])
        {
            if(c1[i]==cnt && !c2[i])
                ans[++Ans]=i;
        }
        else
        {
            if(cnt==1 && c1[i]==1)
                ans[++Ans]=i;
        }
    print();
    return 0;
}

Tournament(CF878C)

题目大意

有 $n$ 个人，每个人都有 $k$ 种能力值 $a_{i, 1} ， a_{i, 2} \dots \dots a_{i, k}$ 。

定义淘汰赛的规则如下：在没被淘汰的人中选出两个 $i$ 和 $j$ ，并选择 $d \in [1, k]$ 。如果 $a_{i, d} > a_{j, d}$ ，则 $j$ 淘汰；否则 $i$ 淘汰（保证所有的 $a_{i, d}$ 互不相同）。直到只剩下一个人没有被淘汰，则这个人是最终的胜者。

对于每个 $i$ ，需要求出如果初始参加比赛的人是 $1, 2, . . ., i$ ，这 $i$ 个人里有多少人可能成为最终的胜者。

$n \leq 5 \times 10^{4}, k \leq 10$

思路

我们考虑两个选手之间的关系，如果一个选手能在某一项运动中战胜对手，那么就从他自身向对手连一条有向边。这样显然会出现很多环，于是可以缩点，将整张图缩成一条链。那么显然入度为零的环中包含的点数即为最后可能成为冠军的人数。

 #include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
int read()
{
    int x=0,f=1;
    char ch=getchar();
    while(ch<'0' || ch>'9')
    {
        if(ch=='-')
            f=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(ch>='0' && ch<='9')
    {
        x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48);
        ch=getchar();
    }
    return x*f;
}
int n,k;
struct node{
    int siz;
    int maxn[15],minn[15];
    node(){
        memset(maxn,0,sizeof(maxn));
        memset(minn,0x3f,sizeof(minn));
    }
    friend bool operator <(node a,node b){
        for(int i=1;i<=k;i++)
            if(a.maxn[i]>b.minn[i])
                    return false;
        return true;
    }
};
set<node> s;
set<node>::iterator it;
int main()
{
    n=read(),k=read();
    node t;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        t.siz=1;
        for(int j=1;j<=k;j++)
            t.maxn[j]=t.minn[j]=read();
        while((it=s.find(t))!=s.end())
        {
            t.siz+=it->siz;
            for(int j=1;j<=k;j++)
            {
                t.minn[j]=min(t.minn[j],it->minn[j]);
                t.maxn[j]=max(t.maxn[j],it->maxn[j]);
            }
            s.erase(it);
        }
        s.insert(t);
        printf("%d\n",(--s.end())->siz);
    }
    return 0;
}

posted @ 2024-01-30 15:26 noipwen 阅读(5) 评论(0) 编辑收藏举报

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图论专场

Fairy(CF19E)

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思路

Connecting Cities(AT_keyence2019_e)

题目大意

思路

Tournament(CF878C)

题目大意

思路

公告

随笔分类

	#include<bits/stdc++.h>
	#define ll long long
	#define mm 10010
	using namespace std;
	int read()
	{
	int x=0,f=1;
	char ch=getchar();
	while(ch<'0' \|\| ch>'9')
	{
	if(ch=='-')
	f=-1;
	ch=getchar();
	}
	while(ch>='0' && ch<='9')
	{
	x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48);
	ch=getchar();
	}
	return x*f;
	}
	struct node{
	int nxt,v,id;
	}e[mm<<2];
	int head[mm<<2],tot=1,dfn[mm];
	int n,m,ans[mm],p[mm],f[mm],Ans;
	int c1[mm],c2[mm],cnt;
	void ADD(int x,int y,int id)
	{
	e[++tot]=(node){head[x],y,id};
	head[x]=tot;
	}
	void dfs(int x,int fa,int pre)
	{
	dfn[x]=dfn[fa]+1;
	p[x]=e[pre].id;
	for(int i=head[x],v=e[i].v;i;i=e[i].nxt,v=e[i].v)
	{
	if((i^pre)==1)
	continue;
	if(!dfn[v])
	{
	dfs(v,x,i);
	f[e[i].id]=1;
	c1[e[pre].id]+=c1[e[i].id];
	c2[e[pre].id]+=c2[e[i].id];
	}
	else
	{
	if(x==v && i&1)
	++c1[e[i].id],++cnt;
	else
	{
	if(dfn[x]>dfn[v])
	if((dfn[x]-dfn[v])&1)
	{
	++c2[e[i].id];
	++c2[e[pre].id];
	--c2[p[v]];
	}
	else
	{
	++c1[e[i].id];
	++c1[e[pre].id];
	--c1[p[v]];
	++cnt;
	}
	}
	}
	}
	}
	void print()
	{
	printf("%d\n",Ans);
	for(int i=1;i<=Ans;i++)
	printf("%d ",ans[i]);
	}
	int main()
	{
	n=read(),m=read();
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
	int x=read(),y=read();
	ADD(x,y,i);
	ADD(y,x,i);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
	if(!dfn[i])
	dfs(i,0,0);
	if(!cnt)
	{
	for(int i=1;i<=m;i++)
	ans[++Ans]=i;
	print();
	return 0;
	}
	for(int i=1;i<=m;i++)
	if(f[i])
	{
	if(c1[i]==cnt && !c2[i])
	ans[++Ans]=i;
	}
	else
	{
	if(cnt==1 && c1[i]==1)
	ans[++Ans]=i;
	}
	print();
	return 0;
	}