cd 游记

Day1

差不多晚上才到，去吃了火锅，菜里都有花椒，晚上在寝室整理自己的东西，了解了一下制度。

Day2

上午先做了一下昨天的题目，难度还行，补了 $Ice-creamTycoon$ 和 $NewYearandConference$，下午是金天讲课，知道了许多有意思的DS转换，难度为单峰。

中午和yjf和hhx去外面吃饭，吃的云吞，迟到了，以后中午再也不去外面了。

Day3

朱富海教授给我们上课，从中国剩余定理讲到群论等一堆，就一开始的听懂了 (╬▔皿▔)╯，后来就自习了。

Strange Limit

题目大意

给你 $p$ 和 $m$ ，求 $p^{p^{p^{p\dots \dots }}}modm!$

思路

有 $n$ 个 $p$， $n$ 为无穷大,也就是递归里套一个指数循环节，然后因为 $n$ 趋向于无限大，那么当前要 $mod$ 的 $x$ $\mu (\mu (\mu (m)))$，也在一直缩小。
如果当 $pmodx=0$ 的时候，就是返回个 $p^{p}modx$，再往上就是 $0$ 的几次方了，已经没有影响了。

GCD Determinant（SP4195）

题目大意

有 $n$ 个正整数 $a_i$ 和一个 $n\times n$ 的矩阵，矩阵中 $i$ 行 $j$ 列的元素为 $gcd(a_i,a_j)$，求矩阵的行列式。

思路

结论为 $\varphi a_1\times \varphi a_2\times \varphi a_3\times \dots \dots \times \varphi a_n$。
(可以先暴力算出矩阵的行列式，然后消掉)

Remainders Game（CF687B）

题目大意

给定 $n$ 个正整数 $c_i$ 和 $k$，假设你知道一个数 $x$，问能否从 $xmod{c}_i$ 推出 $xmodk$。

思路

用中国剩余定理，所以我们知道只要 $c_i$ 中包含了所有的 $k$ 的质因数就可以推出，但把每个数全部分解质因数明显不可以，其实只要 $c_i$ 的最小公倍数 $modk=0$ 就可以了，注意每次还要 $modk$。

Day4

上午考试，下午讲题

T1

签到题，能发现 $T=2S+1$ 所以在 $T$ 中肯定出现了 $S$，我们就在 $1,2,n,n-1$ 的位置扫一边，看看其他位置是否存在，最后判个重。

也可以 $hash$ 做，就是把上面的方法的扫变成的判哈希值，但考场很多人被卡了。

T2

这题挂了，我将问题离线化，然后先把边连起来，权值为连边时间，然后预处理出两两相连的， $map$ 维护时间，对于每个两两相连，我们分别找出连接它且不连接另一点的点，相连，权值取 $max$，对于每次询问，答案为权值前缀和。

正解为将每个互相关注的的看成一个集合，如果分别有边相连，就把这两个集合合并，用 $set$ 维护答案，合并用启发式合并即可。

T3

考场没想出来，这里拜谢zyb爷爷场切

一眼dp，我们不妨设 $f_{i,j}$ 为 $A$ 菜已经完成了 $i$ 道，$B$ 菜完成了 $j$ 道，它的转移式就为 $f_{i,j}=max(f_{i,j-1},f_{i-1,j}+su{m}_{i-1,j})$ 其中 $sum$ 为前缀和。

但是 $O(nm)$ 肯定是不行的，考虑一行的 $f(x)$，明显它肯定具有单调性，所以我们差分一下，差分数组肯定是非负的。

设这个差分数组为 $d_i$，我们如果在 $i$ 处加了正数它对后面是没影响的，但是加了一个负数使得它变成的负数，就会使得后面的全变成 $0$，所以我们可以用线段树二分实现

下午还是朱富海教授讲数论，这次讲的更开放了，更听不懂了，自习得了。

Day5

上午是丁晓漫讲图论，似乎是讲的最好了，学到了竞赛图（”完全有向图“），它的性质不少，能够解决形如多人打比赛的问题，还有重环用异或使它们变成一个环，满足奇偶性，学到了不少好思路。

Fairy（CF19E）

题目大意

给出一张无向图，求删除一条边后此图变成二分图的所有删边种类 $(n\le {10}^4)$。

思路

虽然看起来 $O(n^2)$ 能过，但其实是过不了的，我们知道，判断二分图的一种方式是判断有无奇环，所以问题变成了删去一条边后图中有无奇环，如果有环重合，可以用类似异或的逻辑将中间重复的取消，在看成一个环，明显发现只有偶环+奇环=奇环，然后就做完了。

Connecting Cities(AT_keyence2019_e)

题目大意

给定 $N$ 个点的完全图图，每个点有权值 $A_i$。对于任何点 $i$ 和点 $j$，这两点之间的边权为 $w_{i,j}=A_i+A_j+D|i-j|$，其中 $D$ 为给定的常数，求最小生成树的大小。$(N\le 2\times {10}^5,A_i,D\le {10}^9)$

思路

还是用 $prim$ 或 $Kruskal$，但这题不可以全部连边，可以发现有些边是不必要的，先考虑把式子简化，我们如果确定这两个 $i$ 和 $j$，可以变成 $A_i+D\times i+A_j-D\times j$。

既然 $i$ 和 $j$ 独立出来，那么只需要选出，右半部分 $min{A}_i+D\times i$ 所对应的 $i$，左半部分 $min{A}_j+D\times j$ 所对应的 $j$，将 $j$ 与右半部分所有点连边，$i$ 同理，这样边就只有 $O(nlo{g}_n)$，最后跑 $Kruskal$。

Tournament(CF878C)

题目大意

有 $n$ 个人，每个人都有 $k$ 种能力值 $a_{i,1}，a_{i,2}\dots \dots a_{i,k}$。

定义淘汰赛的规则如下：在没被淘汰的人中选出两个 $i$ 和 $j$，并选择 $d\in [1,k]$。如果 $a_{i,d}>a_{j,d}$，则 $j$ 淘汰；否则 $i$ 淘汰（保证所有的 $a_{i,d}$ 互不相同）。直到只剩下一个人没有被淘汰，则这个人是最终的胜者。

对于每个 $i$，需要求出如果初始参加比赛的人是 $1,2,...,i$，这 $i$ 个人里有多少人可能成为最终的胜者。

$n\le 5\times {10}^4,k\le 10$

思路

我们考虑两个选手之间的关系，如果一个选手能在某一项运动中战胜对手，那么就从他自身向对手连一条有向边。这样显然会出现很多环，于是可以缩点，将整张图缩成一条链。那么显然入度为零的环中包含的点数即为最后可能成为冠军的人数。

Day6

上午考试。

T1

$T1$ 诈骗题，难度排序T4>T1>T3>T2，开了3h没开出来，直接暴毙。

先推式子

$$a_j\le a_i+p-\sqrt{|i-j|}$$

把 $p$ 放一边

$$a_j-a_i+\sqrt{|i-j|}\le p$$

即对于每个 $i$ 求

$$p=\underset{1\le j\le n}{max}\{a_j-a_i+\sqrt{|i-j|}\}$$

考虑如何优化，发现答案具有单调性，所以我们可以分治找到每个答案。

T2

猫树

考虑对于每个区间记一个 $f_{i,j}$ 表示 $i$ 开头 $j$ 结尾的不下降子序列数量。

然后可以滚一遍前缀和。

但是猫树的空间很爆炸，所以考虑离线处理猫树的整个操作。

T3

4399上有类似的游戏

结论为答案肯定是一直左右左右走，且如果走到走过的路一定不优。

所以我们对一个邻块连一条权值为 $2$ 的边（来回一次），如果有冰块，向它的另一方向直到冰块都连一条权值为 $1$ 的边。

最后跑遍最短路。

T4

逆天题，略。

这里我不得不提到 $ChiFAN$ 了，考完疯狂hack别人，推销自己的，结果保灵，不好评价。

下午丁晓漫讲网络流，大部分建模都想得出，听到了几个不一样的建模，以及多个点捆绑的贡献如何建图。

Day7

去熊猫基地玩了，下午去抓娃娃（确信），抓了40大洋没抓出一个，zyb 20yuan抓五个，tnnd。

Day8

上午冯施源讲的杂题选讲，主张CF选题不选小于3300的，这是来成都遇见的第二个逆天老师。

T1卡常了我2h，似乎是 vector 常数过大，但试了还是 TLE 算了，又困难的做了几题。

Day9

上午考试，三黑一紫，你确定这是noip模拟赛？！。

T1

考场写寄了。

看题面就是一个01背包板子，发现 $n\le {10}^6$。

如何优化这个板子呢，发现售价异常的小$(\le 300)$，所以我们从这里入手。

我们对于每个售价进行决策单调性分治来进行优化即可。

T2

没开ll导致的，开了就A了。

我的做法是在随机数下比较优秀。

我们先想暴力，先更新再算区间和。

这个更新我们可以先预处理出哪些点需要更新，区间和我们用树状数组来维护。

复杂度在于更新次数，只要数组是一个降序排列的就寄了，但 JOI 似乎没卡，但洛谷上有人提出了此做法，于是加入了hack数据，所以这个做法在AT是能过的，但洛谷上不行。

T3

这里给出思路

我们考虑老鼠怎样走才是最优的，先设陷阱房为根节点，利于操作，一定是它走到了一个叶子节点，我们将它路上的岔路全分掉在把它放出是最优的，请自行证明。

老鼠很明显只能走一条岔路，所以它一定会选择最优的，但这条最优的有可能连接着老鼠的出生地，也有可能是先往上走一段路再走岔路。

这样我们就可以树形dp了。

(但我不会了)

T4

简单来说就是删去一些边问它是否还是二分图。

像极了一个线段树分治板子，这个做法也是可行的

但此题整体二分更为简单，但判断二分图仍是问题，所以我们想到使用可撤销扩展域并查集维护即可。

下午是冯施源讲字符串，先讲的关于kmp的好题，刷新了我对kmp的认知，它的kmp数组可以干许多事情，border也可以通过kmp快速求解。

然后讲的AC自动机，发现大部分人都不会，fsy直接嘲讽会平衡数为什么不会AC自动机啊，终于听懂的AC自动机的fail指针了，好耶。

中间休息时fsy竟然在打图寻，肯定没ykc强

Day10

下午还是冯施源讲字符串，上来先讲的后缀自动机，而后题目大多数和后缀自动机有关，完全听不懂qwq。

动物园(P2375)

题目大意

给一个字符串，定义 $f_i=max\{x|S_{1...x}=S_{i-x+1...i},x\le i/2\}$
求出每个 $f_i$ $n\le {10}^6$

思路

可以发现 $f_i$ 的定义类似kmp中的 $nxt$ 指针，所以我们先利用kmp求出不符合 $x\le i/2$ 的 $f_i$，然后我们可以倍增出小于等于的 $f_i$ 即可，复杂度 $O(nlo{g}_n)$

字符串的匹配(BZOJ 1461)

题目大意

定义 $\{a_i\}$，$\{b_i\}$ 相同，当且仅当它们离散化之后相同。
给定 $a_1,...a_n$ 以及 $b_1,...b_m$，找到所有位置 $p$ 使得 $a_p,...a_{p+m-1}$ 和
$\{b_i\}$ 相同。$m\le n\le {10}^5$

思路

看起来就是kmp，但是我们无法直接知道一个数的排名，所以可以用树状数组或线段树来维护一个数的排名。

SZA-Template(P3426)

题目大意

Byteasar 想在墙上涂一段很长的字符, 他为了做这件事从字符的前面一段中截取了一段作为模版。然后将模版重复喷涂到相应的位置后就得到了他想要的字符序列。一个字符可以被喷涂很多次, 但是一个位置不能喷涂不同的字符。做一个模版很费工夫, 所以他想要模版的长度尽量小,求最小长度是多少 $n\le {10}^6$

题目大意

首先能发现这个一定是这个字符串的 $border$，并且知道长度大于 $|s|/2$ 的 $border$ 一定都为等差数列，且一个字符串的所有 $border$ 就是kmp中$nxt$。

Country(BZOJ 2061)

题目大意

有 $n\le 26$ 个字符串变量，它们可以包含其他的字符串变量，也可以包含小写字母（这些变量用大写字母表示）。
举个栗子：A=greatglorycorrect，B=xx，C=leadusgo，D=ABC，E=DDDDdjh ，F=EEEEEgoodbye，数据保证定义是无环的。

给定一个小写字母组成的模式串，求某一个变量所代表的字符串里这个模式串出现了几次。模式串长度, 每条描述的长度 $\le 100$

思路

很明显我们要把所有的大写字母改成小写字母，但暴力改肯定不行，尝试优化这个暴力，也就是记忆化搜索，对于每个大写字母，我们递归下去，对于一串小写字母，我们直接kmp查找即可。

Substrings in a String(CF914F)

题目大意

单点修改，每次问一个串 $T_i$ 在 $S[l,r]$ 中的出现次数。$n,q,\sum |T_i|\le {10}^5$

思路

看起来像一个字符串科技题，但标签打了二进制，可以用 $bitset$，我们用 $ans$ 存下所有可能的左端点，当处理第 $i$ 个字符时，$res\mathrm{\&}=(b[c[i]]>>(i-1))$ 即可，其中 $c$ 为待匹配字符串，最终的 $res$ 就是匹配的所有左端点，然后我们求出合法区间内 $ans$ 中 $1$ 的个数即可。

Day11

上午是罗凯讲杂题选讲，难度明显正常了，主要是一些好的idea

Animals and Puzzle（CF713D）

对于每个点可以算出以它为左上角最大的正方形。

二分答案，判左上角一个区间内的最大值。

Broken Tree（CF758E）

这题我和hhx想出了一个书上dp的做法，从叶子节点上传递这个点可以剪的值

如果传到一个点这个点承受不住就把传到这个点的值减去，如果这个值到了负数就输出无解。

如果有解，我们从叶子节点先减即可。

Omkar and Landslide（CF1392F）

可以发现 $f_{i+1}-f_i$ 最多有一个为 $0$ 其他全是 $1$，所以我们可以在一开始就能确定这个值

Day12

上午考试，三道计数题，出题人是不是……

T1

我们对每个点进行拆点，每个方向拆一个，然后每个点假定都有镜子来跑bfs，可以证明如果一个点被遍历多次，这个点一定是不优的。

T2

我们设 $f_{i,j,0/1}$ 表示到第 $i$ 个位置时，目前有 $j$ 个被选入匹配,但是还未选定匹配谁的 $s$。

若第 $i$ 个位置是 $s$ 中的元素，那么：

$$d{p}_{i,j,0}=d{p}_{i-1,j-1,0}+d{p}_{i-1,j,0}+d{p}_{i-1,j,1}$$

$$d{p}_{i,j,1}=d{p}_{i-1,j-1,1}$$

若第 $i$ 个位置是 $t$ 中的元素，那么：

$$d{p}_{i,j,0}=d{p}_{i-1,j+1,0}\times (j+1)$$

$$d{p}_{i,j,1}=d{p}_{i-1,j,1}+d{p}_{i-1,j+1,1}\times (j+1)$$

最后答案就是 $d{p}_{n,0,0}+d{p}_{n,0,1}$

T3

考场全推这题去了，只推出了 $O(n^2)$

答案就是欧拉数 $⟨n,k-1⟩$

T4

毒瘤，没改。

下午lk讲杂题选讲

Choosing Subtree is Fun

二分答案，然后变成求包含一个区间的最小联通子图。

按 dfn 排序即可。

Sources and Sinks（CF1036G）

对源点的每个子集S，记 $f(S)$ 为S能到达的汇点集合。

则如果存在S不是全集，且 $|S|\ge |f(S)|$ 答案就是NO。

反之对每个汇点都可以归纳证明能到达所有其它汇点，答案是
YES。

Lenient Vertex Cover（CF1680F）

直接线段树分治。

但这里lk讲了另一种做法：

如果一开始不是二分图的而删一条边是的话，说明这条边在所有奇环的交。

考虑 $dfs$ 树，易知只有树边和返祖边，而我们只用考虑一条返祖边
和树边得到的这些简单环。

然后数上差分即可。

Day13

上午张隽恺讲dp，主要讲的dp状态如何设。

先介绍了每种dp的常见的想法和状态如何考虑，然后再看几道例题给我们思考。

也是收获不小

Day14

主要讲的dp的转移优化。

每种优化都先给我们讲解再看题目，就是难度……。

中途lk也来听，说了句，如果这题是我想的这样，你确定这不是NOI？

斜率优化题感觉很难想到是斜率优化qwq。

四边形不等式好用，但是只能打表证。

分治和单调栈也是一个好选择。

总结

想题的方向和深度提高了一个档次（还有正确性）

见识到了许多大佬（与我们一起吃饭，考场场切黑博弈论的巨佬，以及宿舍对面的两位银牌爷等等）。

但是cd的火锅里的花椒太多了