test0911

考试分数为100+24+15+20，没有挂分，但考场写完 $T 1$ 后面的题就没有什么太大思路了

T1

预计：100pts
实际：100pts
显然对于一个选项的贡献为，选的个数 $\times$ 选的概率，就是 $a \times \frac{b}{n}$ ，答案即为 $\sum_{i = 1}^{k} a_{i} \times \frac{b_{i}}{n}$ ，但这容易掉精度，建议最后再除以 $n$ 。

T2

预计：24pts
实际：24pts
打了 $n^{2}$ 的和 $m = 0, c = 1$ 的，但他们都说 $O (n)$ 的很好想。

$O (n^{2})$ 的我们设 $f_{i}$ 表示 $i$ 为分割线时前面的总答案，放的块我们可以看成 $f_{k + 1} = 0$ ，所以 $f_{i} = \sum_{j = 1}^{i - 1} f_{j} \times s u m (i - j)$ 其中 $s u m$ 是指一个数小于等于 $c$ 的约数个数，

我们将上面式子转换一下 $f_{i} = \sum_{k = 1}^{c} \sum_{j | j \geq 1, j k \leq i} f_{i - j k}$ 可以发现这个dp是可以前缀和优化的，用另一个数组记下 $\sum_{j | j \geq 1, j k \leq i} f_{i - j k}$ 即可

当 $m = 0, c = 1$ ，可以发现递推式为 $f_{i} = \sum_{j = 1}^{i - 1} f_{j} + 1$ 通项就是 $f_{i} = 2^{i - 1}$

考虑矩阵快速幂，矩阵为 $24 \times 24$ 但直接让矩阵相乘时间复杂度有问题，可以发现这是一个稀疏矩阵，于是我们可以预处理这个矩阵的 $2^{k}$ ，用向量相乘即可

T3

预计：25pts
实际：15pts
打的 $s u b 1$ 和 $s u b 3$

将所有点按它与根的距离排序，我们只要考虑每个点到它父亲的距离期望，对于每个点，将之前点再按到这个点的距离排序重新分别计算距离期望即可

T4

预计：20pts
实际：20pts
我们先考虑 $O (n^{2} \log n)$ 的，枚举前两个点，最后一个点用线段树维护区间最大值即可
可以发现，这种只有 $n$ 个，我们再考虑每个位置 $u$ ，因为要满足 $j - i \leq u - j$ 即 $2 j - i \leq u$ ，这样就可以将每个二元组放入线段树中，离线求区间最大值即可