旅行商简化版

背景 Background 

       欧几里德旅行商(Euclidean Traveling Salesman)问题也就是货郎担问题一直是困扰全世界数学家、计算机学家的著名问题。现有的算法都没有办法在确定型机器上在多项式时间内求出最优解，但是有办法在多项式时间内求出一个较优解。

 

为了简化问题，而且保证能在多项式时间内求出最优解，J.L.Bentley提出了一种叫做bitonic tour的哈密尔顿环游。它的要求是任意两点(a,b)之间的相互到达的代价dist(a,b)=dist(b,a)且任意两点之间可以相互到达，并且环游的路线只能是从最西端单向到最东端，再单项返回最西端，并且是一个哈密尔顿回路。

描述 Description  

       著名的NPC难题的简化版本

 

现在笛卡尔平面上有n(n<=1000)个点，每个点的坐标为(x,y)(-2^31<x,y<2^31，且为整数)，任意两点之间相互到达的代价为这两点的欧几里德距离，现要你编程求出最短bitonic tour。

输入格式 Input Format

       第一行一个整数n

 

接下来n行，每行两个整数x,y，表示某个点的坐标。

 

输入中保证没有重复的两点，

保证最西端和最东端都只有一个点。

输出格式 Output Format    

      一行，即最短回路的长度，保留2位小数。

 

 

 

非常难想到的DP.

f[i][j] 表示第一个人走到第 i 点，第二个人走到第 j 个点。

因为 f[i][j] 与 f[j][i] 轮换对称, 为避免重复， 规定 i 恒大于 j.

若 j+1=i  f[i][j]=min(f[1~j-1][j]+dis(1~j-1,j)); f[j][1~j-1] 与 f[1~j-1][j] 对称。

若 j+1<i  f[i][j]=f[i-1][j]+dis(i-1,i);

 

另外 1e24 表示 10的24次方。

 

#include<iostream>
#include<math.h>
#include<stdio.h> 
//#include<fstream> 
using namespace std;
//ifstream fin("cin.in"); 

int n;
double f[1001][1001];
double d[1001][1001];
double x[1001],y[1001]; 

void Qsort(int left,int right){
     if(left>=right) return ;
     int i=left,j=right;double mid=x[(left+right)>>1];
     while(i<=j)
     {
       while(x[i]<mid) i++;
       while(x[j]>mid) j--;
       if(i<=j)
       {
         swap(x[i],x[j]);
         swap(y[i],y[j]);
         i++;j--; 
               } 
                } 
     Qsort(left,j);
     Qsort(i,right); 
     } 

int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;++i)
    cin>>x[i]>>y[i];
    
    Qsort(1,n); 
    
    for(int i=1;i<=n;++i)
    for(int j=i+1;j<=n;++j)
    d[i][j]=sqrt((x[i]-x[j])*(x[i]-x[j])+(y[i]-y[j])*(y[i]-y[j]));
    
    for(int i=1;i<=n;++i)
    for(int j=1;j<=n;++j)
    f[i][j]=1e24;
     
    f[2][1]=d[1][2]; 
    for(int i=3;i<=n;++i)
    for(int j=1;j<i;++j)
    if(j+1<i) f[i][j]=f[i-1][j]+d[i-1][i];
    else
    {
      for(int k=1;k<j;++k)
      f[i][j]=min(f[i][j],f[j][k]+d[k][i]);   
        } 
             
    printf("%.2lf\n",f[n][n-1]+d[n-1][n]); 
    return 0; 
    
    }