2019 年 11月随笔档案 - nofind

luoguP4008 [NOI2003]文本编辑器

摘要："题意" splay维护即可 code: 阅读全文

posted @ 2019-11-30 17:18 nofind 阅读(144) 评论(0) 推荐(0) 编辑

摘要："目录" 1.区间加+单点查每个块维护tag，散的暴力改。 code: 阅读全文

posted @ 2019-11-30 09:00 nofind 阅读(497) 评论(0) 推荐(0) 编辑

luoguP4294 [WC2008]游览计划

摘要："题意" 斯坦纳树裸题。显然答案是棵树。设

f [i] [s]

$f[i][s]$ 表示以

i

$i$ 为根，集合为

s

$s$ 的最小代价。先在同根之间转移：

f [i] [s] = m i n (f [i] [t] + f [i] [s x o r t] v a l [i])

$f[i][s]=min(f[i][t]+f[i][s\ xor\ t] val[i])$ 减

v a l [i]

$val[i]$ 是因为算了两遍。之后扩展新点： $f[i][s]=min(f 阅读全文

posted @ 2019-11-29 16:29 nofind 阅读(67) 评论(0) 推荐(0) 编辑

luoguP2260 [清华集训2012]模积和

摘要："题意"

\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{m} n % i m % j [i! = j]

$\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}n\%i m\%j [i!=j]$ $\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}n\%i m\%j \sum\limits_{i=1}^{min(n,m)}n\% 阅读全文

posted @ 2019-11-29 09:09 nofind 阅读(88) 评论(0) 推荐(0) 编辑

luoguP3172 [CQOI2015]选数

摘要："题意" 所求即为：

\sum_{i_{1} = L}^{R} \sum_{i_{2} = L}^{R} . . . \sum_{i_{k} = L}^{R} [gcd (i_{1}, i_{2}, . . ., i_{k}) = k]

$\sum\limits_{i_1=L}^{R}\sum\limits_{i_2=L}^{R}...\sum\limits_{i_k=L}^{R}[\gcd(i_1,i_2,...,i_k)=k]$ 套路地进行莫比乌斯反演： $\sum\limits_{i_1=\frac{L 阅读全文

posted @ 2019-11-28 21:59 nofind 阅读(98) 评论(0) 推荐(0) 编辑

luoguP3768 简单的数学题

摘要："题意" 首先一波莫比乌斯反演可得（懒得写latex了）：设

s u m (x) = \sum_{i = 1}^{x} i

$sum(x)=\sum\limits_{i=1}^xi$

a n s = \sum_{T = 1}^{n} s u m (\frac{n}{T})^{2} T^{2} \sum_{d | n} d μ (\frac{T}{d})

$ans=\sum\limits_{T=1}^{n}sum(\frac{n}{T})^2T^2\sum\limits_{d|n}d\mu(\frac{T}{d})$ 有$id \ 阅读全文

posted @ 2019-11-28 21:18 nofind 阅读(111) 评论(0) 推荐(0) 编辑

杜教筛

摘要：解决问题：已知

f (i)

$f(i)$ 是积性函数，求

\sum_{i = 1}^{n} f (i)

$\sum\limits_{i=1}^nf(i)$ 。设

S (n) = \sum_{i = 1}^{n} f (i)

$S(n)=\sum\limits_{i=1}^nf(i)$ 再找一个积性函数

g ()

$g()$ ，求

f g

$f g$ 的前缀和：

\sum_{i = 1}^{n} (f g) (i)

$\sum\limits_{i=1}^{n}(f g)(i)$ $=\sum\limits 阅读全文

posted @ 2019-11-28 19:22 nofind 阅读(98) 评论(0) 推荐(0) 编辑

bzoj2693 jzptab

摘要："题意" 承接 "这题" ： $\sum\limits_{d=1}^{n}d \sum\limits_{x=1}^{\frac{n}{d}}x^2 \mu(x)(\sum\limits_{i=1}^{\frac{n}{d x}}i)(\sum\limits_{j=1}^{\frac{m}{d x}} 阅读全文

posted @ 2019-11-28 17:23 nofind 阅读(80) 评论(0) 推荐(0) 编辑

luoguP3312 [SDOI2014]数表

摘要："题意" 默认

n ⩽ m

$n\leqslant m$ 。设

f (i)

$f(i)$ 表示

i

$i$ 的约数和，因为是积性函数，可以用线性筛求。先不考虑

a

$a$ 的限制，我们推下式子：

\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{m} f (gcd (i, j))

$\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}f(\gcd(i,j))$ 枚举

gcd (i, j)

$\gcd(i,j)$ $\s 阅读全文

posted @ 2019-11-28 16:13 nofind 阅读(91) 评论(0) 推荐(0) 编辑

luoguP3704 [SDOI2017]数字表格

摘要："题意" 默认

n ⩽ m

$n\leqslant m$ 所求即为：

\prod_{i = 1}^{n} \prod_{j = 1}^{m} f [gcd (i, j)]

$\prod\limits_{i=1}^n\prod\limits_{j=1}^mf[\gcd(i,j)]$ 枚举

gcd (i, j)

$\gcd(i,j)$ 变为： $\prod\limits_{k=1}^{n}f(k)^{\sum\limits_{i=1}^n\su 阅读全文

posted @ 2019-11-28 11:04 nofind 阅读(100) 评论(0) 推荐(0) 编辑

luoguP1829 [国家集训队]Crash的数字表格 / JZPTAB(莫比乌斯反演)

摘要："题意" 注：默认

n ⩽ m

$n\leqslant m$ 。所求即为：

\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{m} l c m (i, j)

$\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}lcm(i,j)$ 因为

i j = gcd (i, j) l c m (i, j)

$i j=\gcd(i,j) lcm(i,j)$ ,因此原式为： $\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits 阅读全文

posted @ 2019-11-28 09:10 nofind 阅读(112) 评论(0) 推荐(0) 编辑

luoguP1447 [NOI2010]能量采集

摘要："题意" 显然答案是

\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{m} 2 gcd (i, j) 1

$\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}2 \gcd(i,j) 1$ 转化下即为：

(2 \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{m} gcd (i, j)) n m

$(2 \sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}\gcd(i,j)) n m$ 考虑如何求：$\sum\li 阅读全文

posted @ 2019-11-27 17:24 nofind 阅读(91) 评论(0) 推荐(0) 编辑

luoguP3327 [SDOI2015]约数个数和

摘要："题意" 首先有个结论：

d (i, j) = \sum_{x | i} \sum_{y | j} [g c d (x, y) = 1]

$d(i,j)=\sum\limits_{x|i}\sum\limits_{y|j}[gcd(x,y)=1]$ 证明：假设

i = p_{1}^{a_{1}} p_{2}^{a_{2}} . . . p_{k}^{a_{k}}, j = p_{1}^{b_{1}} p_{2}^{b_{2}} . . . p_{k}^{b_{k}}

$i=p_1^{a_1} p_2^{a_2} ... p_k^{a_k},j=p_1^{b_1} p_2^{b_2} ... p_k^{b_k}$ ，则阅读全文

posted @ 2019-11-27 17:17 nofind 阅读(115) 评论(0) 推荐(0) 编辑

P2522 [HAOI2011]Problem b

摘要："题意" 与 "这题" 相同，只不过加了个容斥。

a n s = s o l v e (b, d) s o l v e (a 1, d) s o l v e (b, c 1) + s o l v e (a 1, c 1)

$ans=solve(b,d) solve(a 1,d) solve(b,c 1)+solve(a 1,c 1)$ 画个这个图就显然了： code: 阅读全文

posted @ 2019-11-27 09:38 nofind 阅读(131) 评论(0) 推荐(0) 编辑

luoguP2257 YY的GCD

摘要："题意" 设

f (d) = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{m} [gcd (i, j) = d], F (d) = \sum_{k | d} f (k) = \frac{n}{d} \frac{m}{d}

$f(d)=\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}[\gcd(i,j)=d],F(d)=\sum\limits_{k|d}f(k)=\frac{n}{d} \frac{m}{d}$ 得： $f(n)=\sum\limits_{n|d}\mu( 阅读全文

posted @ 2019-11-27 09:29 nofind 阅读(79) 评论(0) 推荐(0) 编辑

luoguP3455 [POI2007]ZAP-Queries

摘要："题意" 设

f (n) = \sum_{i = 1}^{a} \sum_{j = 1}^{b} [g c d (i, j) == n], F (n) = \sum_{n | d} f (d)

$f(n)=\sum\limits_{i=1}^{a}\sum\limits_{j=1}^{b}[gcd(i,j)==n],F(n)=\sum\limits_{n|d}f(d)$ 发现

F (n) = \frac{a}{n} \frac{b}{n}

$F(n)=\frac{a}{n} \frac{b}{n}$ ，可以理解为对

a

$a$ 以内的所有

k n

$k n$ 都和阅读全文

posted @ 2019-11-27 09:29 nofind 阅读(106) 评论(0) 推荐(0) 编辑

莫比乌斯反演

摘要："参考资料" 一.莫比乌斯函数 1.定义：设

n

$n$ 分解后为

p_{1}^{c_{1}} p_{2}^{c_{2}} . . . p_{k}^{c_{k}}

$p_1^{c_1} p_2^{c_2} ... p_k^{c_k}$ 。 $\mu(n)=\begin{cases}0\ \exists i\in[1,k],c_i 1\\ 1\ k\equiv 0\pmod{2},\forall i\in 阅读全文

posted @ 2019-11-26 11:41 nofind 阅读(139) 评论(0) 推荐(0) 编辑

原根与指标

摘要："参考资料" 一.阶 1.定义：设

a, p

$a,p$ 是互质整数，必定有

x

$x$ 满足

a^{x} \equiv 1 (\mod p)

$a^x\equiv 1\pmod{p}$ ，最小的满足条件的正整数

x

$x$ 称为

a

$a$ 模

p

$p$ 的阶，记为

O r d_{p} (a)

$Ord_p(a)$ ，如果

gcd (a, p)! = 1

$\gcd(a,p)!=1$ ，则不存在阶。 2.性质：设

a, p

$a,p$ 是互质整数，存在

x^{'}

$x'$ 满足$a^ 阅读全文

posted @ 2019-11-26 10:15 nofind 阅读(691) 评论(0) 推荐(0) 编辑

BZOJ4128 Matrix

摘要："题意" BSGS放在矩阵上。 code: 阅读全文

posted @ 2019-11-26 09:58 nofind 阅读(97) 评论(0) 推荐(0) 编辑

luoguP1791 [国家集训队]人员雇佣

摘要："题意" 考虑先将所有价值加上，之后用最小割求最小代价。考虑每个点对

(i, j)

$(i,j)$ ，我们这样建边： 1.源点向每个点i连

\sum E_{i, j}

$\sum\limits E_{i,j}$ 容量的边。 2.每个点向汇点连雇佣代价容量的边。 3.对每个点对

(i, j)

$(i,j)$ ，从

i

$i$ 向

j

$j$ 连

2 E_{i, j}

$2 E_{i,j}$ 容量的边。考虑阅读全文

posted @ 2019-11-26 09:06 nofind 阅读(122) 评论(0) 推荐(0) 编辑

luoguP2480 [SDOI2010]古代猪文

摘要："题意" 考虑所求即为：

G^{\sum_{d | n} C_{n}^{d}} % 999911659

$G^{\sum\limits_{d|n}C_n^d}\%999911659$ 。发现系数很大，先用欧拉定理化简系数：

G^{\sum_{d | n} C_{n}^{d} % 999911658} % 999911659

$G^{\sum\limits_{d|n}C_n^d\%999911658}\%999911659$ 。实际上我们只用求$\sum\limits_{d|n}C 阅读全文

posted @ 2019-11-26 08:58 nofind 阅读(109) 评论(0) 推荐(0) 编辑

luoguP3306 [SDOI2013]随机数生成器

摘要："题意" 将

x_{1}, x_{2}, x_{3} . . . x_{n}

$x_1,x_2,x_3...x_n$ 写出来可以发现通项为$a^{i 1} x_1+b \sum\limits_{j=0}^{i 2}a^j=a^{i 1} x_1+b \frac{1 a^{i 1}}{1 a}=(x_1 \frac{b}{1 a})a^{i 1}+\frac{b}{1 阅读全文

posted @ 2019-11-26 08:53 nofind 阅读(115) 评论(0) 推荐(0) 编辑

luoguP4774 [NOI2018]屠龙勇士

摘要："题意" 考虑杀每只龙

i

$i$ 时候用的剑是一定的，我们可以用multiset模拟一遍得到，设为

b_{i}

$b_i$ 。发现我们要求一个

x

$x$ 满足对每个

i

$i$ 有：

b_{i} x \equiv a_{i} (\mod p_{i})

$b_i x\equiv a_i\pmod{p_i}$ 这很像扩展中国剩余定理，但是系数不是1，于是考虑化简。假设前

i 1

$i 1$ 个方程的答案为

r e s

$res$ 阅读全文

posted @ 2019-11-26 08:52 nofind 阅读(111) 评论(0) 推荐(0) 编辑

扩展卢卡斯定理

摘要：解决的问题：

C_{n}^{m} (\mod p)

$C_n^m\pmod{p}$ ，

p

$p$ 不是质数。对

p

$p$ 分解质数，假设为

p_{1}^{c_{1}} p_{2}^{c_{2}} . . . p_{k}^{c_{k}}

$p_1^{c_1} p_2^{c_2} ... p_k^{c_k}$ 。对每个

p_{i}^{c_{i}}

$p_i^{c_i}$ 求出在模意义下的

C_{n}^{m}

$C_n^m$ ，设为

a_{i}

$a_i$ ，我们的问题就变为： $\begin{cases}x\equiv 阅读全文

posted @ 2019-11-25 19:23 nofind 阅读(145) 评论(0) 推荐(0) 编辑

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