bzoj2839 集合计数

题意

考虑二项式反演。

设\(f_i\)表示交集至少为\(i\)的方案数，有\(f_i=C_n^i*(2^{2^{n-i}}-1)\)。

先选\(i\)必须包含，有\(C_n^i\)种选法。
包含选出的\(i\)个元素的集合个数为\(2^{n-i}\)，每个集合都可以选或不选，但是不能一个也不选，所以方案数为\((2^{2^{n-i}}-1)\)。

之后二项式反演就好了。

code:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1000010;
const int mod=1000000007;
int n,m,ans;
int fac[maxn],inv[maxn],f[maxn];
inline int power(int x,int k,int mod)
{
	int res=1;
	while(k)
	{
		if(k&1)res=1ll*res*x%mod;
		x=1ll*x*x%mod;k>>=1;
	}
	return res;
}
inline int C(int n,int m)
{
	if(n<m)return 0;
	return 1ll*fac[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;
}
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	fac[0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod;
	inv[n]=power(fac[n],mod-2,mod);
	for(int i=n;i;i--)inv[i-1]=1ll*inv[i]*i%mod;
	for(int i=0;i<=n;i++)f[i]=1ll*C(n,i)*(power(2,power(2,n-i,mod-1),mod)-1)%mod;
	for(int i=m;i<=n;i++)
		if((i-m)&1)ans=(ans-1ll*C(i,m)*f[i]%mod+mod)%mod;
		else ans=(ans+1ll*C(i,m)*f[i]%mod)%mod;
	printf("%d",(ans%mod+mod)%mod);
	return 0;
}