P3723 [AH2017/HNOI2017]礼物

题意

假设翻转了\(d\)距离。
\(ans=\sum\limits_{i=1}^{n}(x_i+d-y_i)\)
\(=\sum\limits_{i=1}^n(x_i+d)^2-2\sum\limits_{i=1}^n(x_i+d)y_i+\sum\limits_{i=1}^ny_i^2\)
\(=\sum\limits_{i=1}^n(x_i^2+y_i^2)+2d\sum\limits_{i=1}^n{(x_i-y_i)}+nd^2-2\sum\limits_{i=1}^nx_iy_i\)

除了最后一个式子都是洗系数已知的二次函数，考虑怎么求最大的\(\sum\limits_{i=1}^nx_iy_i\)：
为了处理转动，我们将\(x_i\)复制一倍。
首先将\(y_i\)翻转，得到\(y'_i=y_{n-i+1}\)。
原式变为：\(\sum\limits_{i=1}^nx_iy'_{n-i+1}\)
发现这是个卷积的形式，我们可以用\(FFT\)快速求出。

code:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=200010;
const int inf=1e9;
const long double Pi=acos(-1.0);
int n,m,lim=1,len,ans,sum;
int a[maxn],b[maxn],pos[maxn];
struct cplx{long double x,y;}A[maxn],B[maxn];
cplx operator+(cplx a,cplx b){return (cplx){a.x+b.x,a.y+b.y};}
cplx operator-(cplx a,cplx b){return (cplx){a.x-b.x,a.y-b.y};}
cplx operator*(cplx a,cplx b){return (cplx){a.x*b.x-a.y*b.y,a.x*b.y+a.y*b.x};}
inline void FFT(cplx* a,int op)
{
	for(int i=0;i<lim;i++)if(i<pos[i])swap(a[i],a[pos[i]]);
	for(int l=1;l<lim;l<<=1)
	{
		cplx wn=(cplx){cos(Pi/l),op*sin(Pi/l)};
		for(int i=0;i<lim;i+=l<<1)
		{
			cplx w=(cplx){1,0};
			for(int j=0;j<l;j++,w=w*wn)
			{
				cplx x=a[i+j],y=w*a[i+l+j];
				a[i+j]=x+y;a[i+l+j]=x-y;
			} 
		}
	}
	if(op==1)return;
	for(int i=0;i<lim;i++)a[i].x/=lim;
}
inline int calc(int x){return n*x*x+2*sum*x;}
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
	for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&b[i]);
	while(lim<(n<<1))lim<<=1,len++;
	for(int i=0;i<lim;i++)pos[i]=(pos[i>>1]>>1)|((i&1)<<(len-1));
	for(int i=1;i<=n;i++)A[i].x=A[i+n].x=a[i],B[i].x=b[n-i+1];
	FFT(A,1);FFT(B,1);
	for(int i=0;i<lim;i++)A[i]=A[i]*B[i];
	FFT(A,-1);
	for(int i=n+1;i<=2*n;i++)ans=max(ans,(int)(A[i].x+0.5));
	ans=-2*ans;
	for(int i=1;i<=n;i++)ans+=a[i]*a[i]+b[i]*b[i];
	for(int i=1;i<=n;i++)sum+=a[i]-b[i];
	ans+=min(calc(floor(-1.0*sum/n)),calc(ceil(-1.0*sum/n)));
	printf("%d",ans);
	return 0;
}