P4841 [集训队作业2013]城市规划

题意

首先考虑\(O(n^2)\)怎么做:

经典做法是设\(f_i\)表示\(i\)个点的无向连通图个数，\(g_i\)表示\(i\)个点的无向图个数。

显然有：\(g_i=2^{C_n^2}\)，即考虑\(C_n^2\)条边中每条边存不存在。
容斥一下，枚举\(1\)号节点所在连通块大小，乘个组合数表示选些点和\(1\)在同一连通块中：
\(f_i=g_i-\sum\limits_{j=1}^{i-1}C_{i-1}^{j-1}f_{j}g_{i-j}\)

现在考虑优化：

先将阶乘拆开：
\(f_i=g_i-\sum\limits_{j=1}^{i-1}f_{j}g_{i-j}\frac{(i-1)!}{(j-1)!(i-j)!}\)
合并同类项：
\(\frac{f_i}{(i-1)!}=\frac{g_i}{(i-1)!}-\sum\limits_{j=1}^{i-1}\frac{f_j}{j-1}\frac{g_{i-j}}{(i-j)!}\)

设\(f'_i=\frac{f_i}{(i-1)!},g'_i=\frac{g_i}{i!}\)，有：
\(f'_i=i*g'_i-\sum\limits_{j=1}^{i-1}f'_jg'_{i-j}\)

这显然是个卷积的形式，我们可以直接分治\(FFT\)解决。

code:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=520010;
const ll mod=1004535809;
const ll G=3;
const ll invG=334845270;
int n,lim,len;
int pos[maxn];
ll f[maxn],g[maxn],tmp1[maxn],tmp2[maxn],fac[maxn],inv[maxn];
inline ll power(ll x,ll k)
{
	ll res=1;
	while(k)
	{
		if(k&1)res=res*x%mod;
		x=x*x%mod;k>>=1;
	}
	return res;
}
inline void NTT(ll* a,int op)
{
    for(int i=0;i<lim;i++)if(i<pos[i])swap(a[i],a[pos[i]]);
    for(int l=1;l<lim;l<<=1)
    {
        ll wn=power(op==1?G:invG,(mod-1)/(l<<1));
        for(int i=0;i<lim;i+=l<<1)
        {
           	ll w=1;
            for(int j=0;j<l;j++,w=w*wn%mod)
            {
                int x=a[i+j],y=w*a[i+l+j]%mod;
                a[i+j]=(x+y)%mod;a[i+l+j]=(x-y+mod)%mod;
            }
        }
    }
    if(op==1)return;
    ll inv=power(lim,mod-2);
    for(int i=0;i<lim;i++)a[i]=a[i]*inv%mod;
}
void solve(int l,int r)
{
	if(l==r)return;
	int mid=(l+r)>>1;
	solve(l,mid);
	for(int i=l;i<=mid;i++)tmp1[i-l]=f[i],tmp2[i-l]=g[i-l];
	for(int i=mid+1;i<=r;i++)tmp1[i-l]=0,tmp2[i-l]=g[i-l];
	lim=1,len=0;
	while(lim<=(r-l))lim<<=1,len++;
	for(int i=0;i<lim;i++)pos[i]=(pos[i>>1]>>1)|((i&1)<<(len-1));
	for(int i=r-l+1;i<lim;i++)tmp1[i]=tmp2[i]=0;
	NTT(tmp1,1);NTT(tmp2,1);
	for(int i=0;i<lim;i++)tmp1[i]=tmp1[i]*tmp2[i]%mod;
	NTT(tmp1,-1);
	for(int i=mid+1;i<=r;i++)f[i]=(f[i]-tmp1[i-l]+mod)%mod;
	solve(mid+1,r);
}
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	fac[0]=1;for(int i=1;i<=n;i++)fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
	inv[n]=power(fac[n],mod-2);for(int i=n;i;i--)inv[i-1]=inv[i]*i%mod;
	for(int i=0;i<=n;i++)g[i]=power(2,(1ll*i*(i-1)/2)%(mod-1))*inv[i]%mod;
	for(int i=0;i<=n;i++)f[i]=i*g[i]%mod;
	int l=1;while(l<=n)l<<=1;
	solve(0,l);
	printf("%lld",f[n]*fac[n-1]%mod);
	return 0;
}