多项式除法

模板题

考虑如果没有\(R(x)\)的影响就可以多项式求逆。

构造\(f'(x)=x^nf(\frac{1}{x})\)，可以看出\(f'(x)\)就是将\(f(x)\)的系数翻转，即\(f'(x)\)第\(i\)项的系数是\(f(x)\)第\(n-i\)项的系数。

开始推式子：
\(F(x)=Q(x)*G(x)+R(x)\)
\(F(\frac{1}{x})=Q(\frac{1}{x})*G(\frac{1}{x})+R(\frac{1}{x})\)
两边同乘\(x^n\)：
\(x^nF(\frac{1}{x})=x^{n-m}Q(\frac{1}{x})*x^mG(\frac{1}{x})+x^{n-m+1}*x^{m-1}R(\frac{1}{x})\)
\(F'(x)=Q'(x)*G'(x)+x^{n-m+1}R'(x)\)
\(F'(x)\equiv Q'(x)*G'(x)+x^{n-m+1}R'(x)\pmod{x^{n-m+1}}\)
\(F'(x)\equiv Q'(x)*G'(x)\pmod{x^{n-m+1}}\)
\(Q'(x)\equiv F'(x)*G'(x)^{-1}\pmod{x^{n-m+1}}\)

于是我们可以求出\(Q'(x)\)，之后将其变换回\(Q(x)\)。

对于\(R(x)\)，我们可以通过\(R(x)=F(x)-G(x)*Q(x)\)得到。

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