luoguP3980 [NOI2008]志愿者招募

题意

这道题的难点主要在于处理一个人可以对区间产生贡献这个限制。

我们之前都是将一个人当成流量，但是这一容量的流量可以对一个区间的点产生贡献，这就导致这个问题无法处理。

于是考虑怎么将一个点可以对一个区间产生贡献在图上表示出来：

我们考虑每一天，从\(S\)向\(1\)连容量为\(inf\)的边，从\(i\)向\(i+1\)连容量为\(inf-a_i\)边的边，从\(n+1\)向\(T\)连容量为\(inf\)的边，这些边费用都是\(0\)。要满足条件的话，我们就要保证了最大流为\(inf\)。

接下来，对于每种志愿者\(i\)，我们从\(S_i\)向\(T_i+1\)连容量为\(inf\)的边，费用为\(C_i\)。

为什么这么建图：

考虑每一天\(i\)，我们要使最大流为\(inf\)，而\(i\)的出边容量为\(inf-a_i\)，少了\(a_i\)，那么这\(a_i\)必定要由志愿者代表的边产生流量补上。一个志愿者能补\([S_i,T_i]\)的所有天，因此我们从\(S_i\)向\(T_i+1\)连边。

这道题思路很巧妙，它用补充流量的方法使得一单位的流量能对一个区间产生贡献。

code:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1010;
const int maxm=10010;
const int inf=1e9;
int n,m,cnt_edge=1,S,T;
int head[maxn],dis[maxn];
bool vis[maxn];
struct edge{int to,nxt,flow,cost;}e[(maxn+maxm)<<1];
inline void add(int u,int v,int w,int c)
{
	e[++cnt_edge].nxt=head[u];
	head[u]=cnt_edge;
	e[cnt_edge].to=v;
	e[cnt_edge].flow=w;
	e[cnt_edge].cost=c;
}
inline void addflow(int u,int v,int w,int c){add(u,v,w,c);add(v,u,0,-c);}
inline int read()
{
	char c=getchar();int res=0,f=1;
	while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9')res=res*10+c-'0',c=getchar();
	return res*f;
}
inline bool spfa()
{
    memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    queue<int>q;
    q.push(S);dis[S]=0;vis[S]=1;
    while(!q.empty())
    {
        int x=q.front();q.pop();vis[x]=0;
        for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt)
        {
            int y=e[i].to;
            if(dis[y]>dis[x]+e[i].cost&&e[i].flow>0)
            {
                dis[y]=dis[x]+e[i].cost;
                if(!vis[y])q.push(y),vis[y]=1;
            }
        }
    }
    return dis[T]!=0x3f3f3f3f;
}
int dfs(int x,int lim)
{
    vis[x]=1;
    if(lim<=0||x==T)return lim;
    int res=lim;
    for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt)
    {
        int y=e[i].to;
        if(dis[y]!=dis[x]+e[i].cost||e[i].flow<=0||vis[y])continue;
        int tmp=dfs(y,min(res,e[i].flow));
        res-=tmp;
        e[i].flow-=tmp,e[i^1].flow+=tmp;
        if(res<=0)break;
    }
    return lim-res;
}
inline int Dinic()
{
    int res=0,cost=0;
    while(spfa())
    {
        int flow=dfs(S,inf);
        res+=flow;cost+=flow*dis[T];
    }
    return cost;
}
int main()
{
	//freopen("test.in","r",stdin);
	//freopen("test.out","w",stdout);
	n=read(),m=read();
	S=0,T=n+2;
	addflow(S,1,inf,0);
	for(int i=1,x;i<=n;i++)x=read(),addflow(i,i+1,inf-x,0);
	addflow(n+1,T,inf,0);
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		int u=read(),v=read(),w=read();
		addflow(u,v+1,inf,w);
	}
	printf("%d",Dinic());
	return 0;
}