计算点在平面上的投影坐标

1.平面方程为一般式

已知一个平面Plane以及任一点\(V_i(x_i,y_i,z_i)\)，计算点\(V_i\) 到平面Plane的投影。

给定的平面Plane的方程为：

\(Ax+By+Cz+D = 0\)

过点\(V_i\) 到平面Plane的垂足记作${V_i} ^\prime(x,y,z) $ ，则直线\(V_i{V_i}^\prime\) 与平面的法向量\(\overrightarrow{n}\) 平行，直线\(V_i{V_i}^\prime\) 的参数方程为：

\(\cases{x=x_i-At \cr y=y_i-Bt \cr z=z_i-Ct}\)

将点\((x,y,z)\)带入平面方程，求出\(t\):

\(t=\dfrac {Ax_i+By_i+Cz_i+D}{A^2+B^2+C^2}\)

再将\(t\) 带入直线的参数方程就求出了投影点${V_i} ^\prime(x,y,z) $ 。

2.平面由法向量和平面上一点构成

平面由法向量\(\overrightarrow n(a,b,c)\), 平面上的一点\(O(x_0,y_0,z_0)\) 所确定，只要\(\overrightarrow n\mathrel{{=}\llap{/\,}}0\) ，确定的平面就是唯一的。

任一点$V_i(x,y,z) $, 在平面的投影点为 ${V_i} ^\prime ({x}^\prime,{y}\prime,{z}^\prime) $ 。

有以下几何关系：

1)\(V_i{V_i}^\prime \parallel \overrightarrow n\), 2)\(O{V_i}^\prime\perp \overrightarrow n\)

由平行关系可得到方程组：

\(\dfrac{ {x}^\prime -x }a = \dfrac{ {y}^\prime -y }b = \dfrac{ {z}^\prime -z }c=t\) \(\Rightarrow\) \(\cases{{x}^\prime=x+at \cr {y}^\prime=y+bt \cr {z}^\prime=z+ct}\) (1)

由垂直关系可得到方程：

\(a({x}^\prime-x_0)+b(y^\prime-y_0)+c(z^\prime-z_0)=0\) \(\Rightarrow\) \(ax^\prime+by^\prime+cz^\prime=ax_0+by_0+cz_0\) (2)

由方程(1)(2)求解出\(t\):

\(t=\dfrac{ ax_0+by_0+cz_0-(ax+by+cz) }{a^2+b^2+c^2}\) (3)

再把\(t\)的值带入方程(1)就求出了投影点${V_i} ^\prime({x}\prime,{y}^\prime,{z}\prime) $ 。

3.平面由三个不共线的点构成

平面由三个不共线的点\(O(x_0,y_0,z_0)\),\(P_1(x_1,y_1,z_1)\) 和\(P_2(x_2,y_2,z_2)\) 构成。

计算投影点\({V_i}^\prime(x,y,z)\) 的思路大致是先计算出平面的法向量\(\overrightarrow{n}(a,b,c)\),此时问题转化为了第2节中的方法求解。

\(\overrightarrow{n}=\overrightarrow{OP_1}\times\overrightarrow{OP_2}=\begin{vmatrix}i & j & k\cr {x_1-x_0 } & {y_1-y_0} & {z_1-z_0}\cr {x_2-x_0 } & y_2-y_0 & z_2-z_0 \end{vmatrix}\)

由此计算出\(\overrightarrow n(a,b,c)\) 的三个值：

\(\cases{a=(y_1-y_0)(z_2-z_0)-(y_2-y_0)(z_1-z_0) \cr b=(x_2-x_0)(z_1-z_0)-(x_1-x_0)(z_2-z_0) \cr c=(x_1-x_0)(y_2-y_0)-(x_2-x_0)(y_1-y_0)}\)

之后的按照第二节中的方法计算求出点\({V_i}^\prime(x,y,z)\) 的坐标。