极大似然估计
原
极大似然估计详解
�0�2 �0�2 �0�2 �0�2 以前多次接触过极大似然估计，最近在看贝叶斯分类，总结如下：
贝叶斯决策
�0�2 �0�2 �0�2 �0�2 首先来看贝叶斯分类
�0�2 �0�2 �0�2 �0�2 其中：p(w)：为先验概率，表示在某种类别前提下，表示某事发生了，有了这个后验概率，说明某事物属于这个类别的可能性越大�0�2 �0�2 �0�2 �0�2 我们来看一个直观的例子：已知：在夏季，女性穿凉鞋的概率为2/3，问题：若你在公园中随机遇到一个穿凉鞋的人�0�2 �0�2 �0�2 �0�2 从问题看，某事发生了�0�2 �0�2 �0�2 �0�2 设：
�0�2 �0�2 �0�2 �0�2 由已知可得：
�0�2 �0�2 �0�2 �0�2 男性和女性穿凉鞋相互独立（若只考虑分类问题，的取值并不重要）。
�0�2 �0�2 �0�2 �0�2 由贝叶斯公式算出：
问题引出
�0�2 �0�2 �0�2 �0�2 但是在实际问题中并不都是这样幸运的，而先验概率
�0�2 �0�2 �0�2 �0�2 先验概率的估计较简单�0�2 �0�2 �0�2 �0�2 类条件概率的估计（非常难），把估计完全未知的概率密度
重要前提
�0�2 �0�2 �0�2 �0�2 上面说到�0�2 �0�2 �0�2 �0�2�0�2重要前提：训练样本的分布能代表样本的真实分布。每个样本集中的样本都是所谓独立同分布的随机变量 (iid条件)。
极大似然估计
�0�2 �0�2 �0�2 �0�2 极大似然估计的原理，如下图所示：
�0�2 �0�2 �0�2 �0�2 总结起来，反推最有可能（最大概率）导致这样结果的参数值。
�0�2 �0�2 �0�2 �0�2 原理：极大似然估计是建立在极大似然原理的基础上的一个统计方法，即：“模型已定，观察其结果，则称为极大似然估计。
�0�2 �0�2 �0�2 �0�2 由于样本集中的样本都是独立同分布，来估计参数向量θ。记已知的样本集为：
�0�2 �0�2 �0�2 �0�2 似然函数（linkehood function）：联合概率密度函数
�0�2 �0�2 �0�2 �0�2 如果
求解极大似然函数
�0�2 �0�2 �0�2 �0�2 ML估计：求使得出现该组样本的概率最大的θ值。
�0�2�0�2�0�2�0�2�0�2�0�2�0�2�0�2 实际中为了便于分析
�0�2 �0�2 �0�2 �0�2 1. 未知参数只有一个（θ为标量）
�0�2 �0�2 �0�2 �0�2 在似然函数满足连续、可微的正则条件下
�0�2 �0�2 �0�2 �0�2 2.未知参数有多个（θ为向量）
�0�2 �0�2 �0�2 �0�2 则θ可表示为具有S个分量的未知向量：
�0�2�0�2�0�2�0�2�0�2�0�2�0�2�0�2 记梯度算子：
�0�2�0�2�0�2�0�2�0�2�0�2�0�2�0�2 若似然函数满足连续可导的条件
�0�2�0�2�0�2�0�2�0�2�0�2�0�2�0�2 方程的解只是一个估计值，它才会接近于真实值。
极大似然估计的例子
�0�2 �0�2 �0�2 �0�2 例1：设样本服从正态分布
�0�2 �0�2 �0�2 �0�2 它的对数：
�0�2 �0�2 �0�2 �0�2 求导
�0�2 �0�2 �0�2 �0�2 联合解得：
�0�2 �0�2 �0�2 �0�2 似然方程有唯一解
�0�2 �0�2 �0�2 �0�2 例2：设样本服从均匀分布[a
�0�2 �0�2 �0�2 �0�2 对样本
�0�2 �0�2 �0�2 �0�2 很显然,b)作为a和b的二元函数是不连续的，求L(a，为使L(a，b-a应该尽可能地小，否则,b)=0。类似地a不能大过
总结
�0�2 �0�2 �0�2 �0�2 求最大似然估计量
�0�2 �0�2 �0�2 �0�2 （1）写出似然函数；
�0�2 �0�2 �0�2 �0�2 （2）对似然函数取对数�0�2 �0�2 �0�2 �0�2 （3）求导数；
�0�2 �0�2 �0�2 �0�2 （4）解似然方程。
�0�2 �0�2 �0�2 �0�2 最大似然估计的特点：
�0�2 �0�2 �0�2 �0�2 1.比其他估计方法更加简单；
�0�2 �0�2 �0�2 �0�2 2.收敛性：无偏或者渐近无偏，收敛性质会更好；
�0�2 �0�2 �0�2 �0�2 3.如果假设的类条件概率模型正确，将导致非常差的估计结果。
