数学之美_正态分布(详解)
1 首先介入的几个概念:
正太分布是一个比较广义的概念,其中性质类似于一个钟型的曲线,因此也叫钟型分布;另外,由数学王子高斯首先发现因此也叫高斯分布,英文单词为Normal Distribution 或 Guass Distribution。另外其均值为0,标准差为1的特例,称之为标准正太分布,另外像二项分布等其他分布有些也属于正太分布的子集。
iid称之为独立同分布,其研究变量的前提条件为独立同分布,可以简单理解为研究的对象是随机的成为离散型,把离散型的变量进行联合,成为联合分布,也可以成为连续型变量的分布。围绕概率统计研究的基础对象基本就是围绕:离散型和连续型进行讨论。
2 引入:
首先离散型随机变量。
ξ ξ1 ξ2 ... ξn
P P1 P2 ... Pn
这叫离散型随机变量的分布列,也是用列表法表示部分数据。
其次连续型随机变量。
关于,连续型随机变量,用列表法表示出现就显得不太好了,最好的方法是用解析表达式。
比如 X∈(-∞,+∞),有这么一个定义域,有以下解析表达式:
这个函数映射到图像上就是一个概率密度曲线,图像如下:
(这个曲线叫正态分布曲线)
3 解释:
1) 其中,这里具有两个参数,μ和Sigma2,其中μ是管曲线的平移位置位置的,Sigma2是关图像的胖瘦和高矮的。因此这个曲线下面积为1,Sigma2高瘦和胖瘦不影响总体的面积。月高瘦表示越集中,越矮胖表示越发散。对于标准正态曲线,N ~ (μ=0,Sigma2 =1)。给定这两个条件就是一个标准正态曲线。
2) 另外,其他正太可以转换为标准正太曲线,通过一个公式进行转换Φ(X-μ/Sigma)。这个公式也叫去中心化公式,在很多情况下都可应用。
3) 例题:
如果有这么一个条件ξ总体的条件为ξ~(1,4),其中μ表示1,Sigma2=4,Sigma = 2
要求P(ξ1 < 3)的正态分布概率是多少,其中ξ1∈ξ,
首先,把ξ进行标准差转换 (3 - 1)/2 = 1,然后查表1的概率为0.8413
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