数学之美_马尔科夫模型01

1. 概率：是一种分析问题的范型（也可以说一种分析问题的模板）

2. 马尔科夫：是一个人名。

2.1 生平：俄国数学家，出生于梁赞州。位置靠近欧洲。

模样就是张这个样

 父亲是一位中级官员，后来居家迁往圣彼得堡，1794年马尔科夫进入圣彼得堡大学，是从切比雪夫。毕业后留校任教。

详细生平：

https://baike.baidu.com/item/%E5%AE%89%E5%BE%B7%E9%9B%B7%C2%B7%E9%A9%AC%E5%B0%94%E5%8F%AF%E5%A4%AB/10445098

 

3. 马尔科夫最伟大的成就就是马尔科夫链，路径。关键字：马尔科夫链，马尔科夫矩阵，隐马尔科夫。马尔科夫属于概率论这个范畴中的一种模型。

隐马尔可夫并不是马尔科夫发明的。现代概率论的一位大牛！

 

4. 马尔科夫预测：

公理：一切用于实际应用的属性模型都需要实际情况的检验。

推论1：实践是检验真理的唯一标准。

推论2：一切预测模型仅仅只是预测。

 

性质：

1、有效性：预测给出了未来发生实践的可能值（不是可能值）。

2、差异性：预测与实际值一定有差别（注意：是一定！）。

3、可控性：优良的模型给出预测值与实际值相差不可能太大（误差太大就不叫预测了）。

 

第一个问题：信息耗散

*一则消息在a1、a2、a3，... ，an...这么多人中一次传递，每次传递该消息会出现消息的失真，失真的概率为p，那么第n个人获得消息的可靠程度如何？

举例：击鼓传花、消息传递游戏等等，在现实过程中非常多的例子。

 

第二个问题：愚蠢的顾客

*某同类物品A、B、C的宣传力度不同，愚蠢的顾客在广告宣传的效应下，第一次尝试选择购买A、B、C的概率为0.2,0.4，0.4。

*经销商统计，顾客的购买倾向为下标，尝试求某顾客第四次来购买格物品的概率。

 

起源：

*20世纪初，马尔科夫（Markov）研究自然界有一类事物变化过程仅与事物的近期状态有关，与事物过去的状态无关（很像LSTM模型）。

*这样的性质称为马尔科夫性，或无记忆性，或者无后效性（像金鱼一样，吃了东西忘了还吃过，继续吃）。

*例如：一个商店的累计赚了多少钱，如果现在时刻的盈利已知，则未来某一时刻的盈利数目与现在时刻以前的任一时刻盈利额无关。

 

随机游走、布朗运动：

*一个质点在零时刻位于原点，每间隔单位时间右移或者左移一个单位长度，右移动的概率为p，左移动的概率为1-p，质点在第n个时刻的位置为X(n),n=0.1,...这样的过程叫马尔科夫过程（马尔科夫构成可以理解成：现实中无脑的游走过程）。

*布朗运动就是一个马尔科夫过程。

*这里只讨论离散的马尔科夫过程（大学有一门课程叫随机过程，有兴趣的话可以看一下这个《随机过程》）。

 

 名词铺垫：

* 随机过程的本质就是对一系列随机变量的整体描述。

 *定义（非纯数学的）：T是一个实数集合，如果对任意的t∈T，αt是一个随机变量，那么我们把全部的αt搁一块儿{α，t∈T}，就称为随机过程，t可以简单理解为时间，αt的全体取值即可成为状态空间。

*定义：如果我们知道这么一个随机序列，状态空间E是可列的。如果i，j∈E，k = 1，... n-1，如果有这么一个式子，

就是一个马尔科夫链，具备马尔科夫性。也就是说当前时刻的状态只和前一个时刻的状态有关。

 

时齐性与转移概率

 时齐性：就是前面说的只和前一个时刻有关。

转移概率：就是转移概率矩阵Pij(m)表示i状态转移到j状态，转移了m次

 

转移概率矩阵：

 

 

 *马克科夫预测的核心在于转移概率矩阵的确立。

*去诶定这些概率的的方法，可以是统计，可以理论分析，甚至是猜测的。

 

柯尔莫哥洛夫-郄普曼方程（K-C方程）

 

马尔科夫预测模型：

 

 

 举一个例子：

还是以上面一个例子：

1. 初始状态为：0.2 0.4 0.4

2.转移概率矩阵为上面那个东西。

因此用matlab赋值

>> s = [0.2 0.4 0.4]
s =
0.2000 0.4000 0.4000
>> p = [0.8 0.1 0.1;0.5 0.1 0.4;0.5 0.3 0.2]
p =
0.8000 0.1000 0.1000
0.5000 0.1000 0.4000
0.5000 0.3000 0.2000
>>

 

如果是第一次来购买这个物品的概率为s*p^1，如果第四次就是s*p^4

>> s * p^4
ans =
0.7101 0.1327 0.1572

 另外我们发现经过多次传递之后，这个值会不变了

>> s * p^400
ans =
0.7143 0.1310 0.1548
>> s * p^401
ans =
0.7143 0.1310 0.1548
>> s * p^402
ans =
0.7143 0.1310 0.1548
>> s * p^399
ans =
0.7143 0.1310 0.1548