【笔记】组合数学初步

$§ 1.$ 二项式系数

1.1 定义

我们在高中时常见的二项式系数的形式是

C_{n}^{k} = \frac{n!}{k! (n - k)!}

但下文将采用如下的定义：

(\binom{n}{k}) = {\begin{cases} \frac{n^{\underset{―}{k}}}{k!} & k \geq 0 \\ 0 & k < 0 \end{cases}

注意这里对 $n$ 没有做任何限制，意味着 $n < 0$ 时， $(\binom{n}{k})$ 也是有定义的。

1.2 基础性质/恒等式

让我们从熟悉的性质开始：

（对称恒等式） $(\binom{n}{k}) = (\binom{n}{n - k})$
（加法公式） $(\binom{n}{k}) = (\binom{n - 1}{k}) + (\binom{n - 1}{k - 1})$
（吸纳/提取恒等式） $(\binom{n}{k}) = \frac{n}{k} (\binom{n - 1}{k - 1})$
（二项式公式） $(x - y)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) x^{k} y^{n - k}$

之后是关于 $n < 0$ 的情况：

\begin{aligned} (\binom{- n}{k}) & = \frac{(- n)^{\underset{―}{k}}}{k!} \\ = \frac{(- n) (- n - 1) \dots (- n - k + 1)}{k!} \\ = \frac{(- 1)^{k} (n + k - 1) (n + k - 2) \dots (n + 1) n}{k!} \\ = (- 1)^{k} (\binom{n + k - 1}{k}) \end{aligned}

那么就可以总结出

（上指标反转） $(\binom{n}{k}) = (- 1)^{k} (\binom{k - n - 1}{k})$

接下来是一些关于求和的性质：

（平行求和） $\sum_{k \leq n} (\binom{r + k}{k}) = (\binom{r + n + 1}{n})$

有限微积分

其实我们也有另一个写法

$\sum (\binom{r + x}{x}) δ x = (\binom{r + x}{x - 1}) + C$
所以

$\sum_{0}^{n + 1} (\binom{r + k}{k}) δ x = (\binom{r + n + 1}{n}) - (\binom{r}{- 1}) = (\binom{r + n + 1}{n})$

（上指标求和） $\sum_{0 \leq k \leq n} (\binom{k}{m}) = (\binom{n + 1}{m + 1})$

有限微积分

同上

$\sum (\binom{x}{m}) δ x = (\binom{x}{m + 1}) + C$
所以

$\sum_{0}^{n + 1} (\binom{x}{m}) δ x = (\binom{n + 1}{m}) - (\binom{0}{m}) = (\binom{n + 1}{m})$

1.3 二项式系数乘积的和

$\sum_{k}$

$§ 2.$ 生成函数

$§ 3.$ 卡特兰数

$§ 4.$ 一些问题

4.1 错排

一个邮差给 $n$ 个人各送一封信，问没有人收到自己的信的情况数？

posted @ 2024-12-19 17:02 noaL02d 阅读(39) 评论(0) 编辑收藏举报

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