【笔记】数论初步

1.整除和同余

1.1 整除

1.1.1 定义

$\text{如果有}a,b,c\in N,\text{且}b=a\times c,\text{则称}a\text{整除}b,\text{记作}a\mid b$

1.1.2 性质

$a\mid a$
若 $a\mid b$ 且 $b\mid c$,则 $a\mid c$
若 $a\mid b_1,a\mid b_2,\cdots,a\mid b_n$，则 $a\mid b_i\times c_i(i\in \left[1,n\right])$ 且 $a\mid \sum\limits^n_{i=1} (b_i\times c_i)$
若 $a\mid b$ 且 $a\mid b\pm c$，则 $a\mid c$
若 $n\mid a-b$ 且 $n\mid c-d$,则 $n\mid a\times c-b\times d$

1.2 同余

1.2.1 定义

$\text{如果有}a,b,n\in N,n\mid a-b,\text{则称}a\text{与}b\text{模}n\text{同余},\text{记作}a\equiv b\pmod n$

1.2.2 性质

$a\equiv a\pmod n$
若 $a\equiv b\pmod n$，则 $b \equiv a\pmod n$
若 $a\equiv b\pmod n$ 且 $b\equiv c\pmod n$，则 $a\equiv c\pmod n$
若 $a\equiv c\pmod n$ 且 $b\equiv d\pmod n$，则 $a+b\equiv c+d\pmod n$ 且 $a\times b\equiv c\times d\pmod n$
若 $a\equiv b\pmod n$，则 $a\times c\equiv b\times c\pmod n$

反之若 $a\times c\equiv b\times c\pmod n$ 且 $c \not=0$，则 $a\equiv b\pmod n$

1.2.3 完全剩余系

若一个整数数列 $a_1,a_2,\cdots ,a_n$ 除以 $n$ 的余数两两不同，则称为一个模 $n$ 的完全剩余系。

2.约数和倍数

2.1 约数

2.1.1 定义

若 $d \mid n$，则称 $d$ 是 $n$ 的约数，$n$ 是 $d$ 的倍数。

2.1.2 某个数的约数

试除法：

ull factor[size];
void find_factor(ull n) {
	ull sq = 1ll*sqrt(n+0.5);
	for(ull i = 1;i <= sq;++i) 
		if(n%i == 0) {
			factor[++factor[0]] = i;
			if(i != n/i) 
				factor[++factor[0]] = n/i;
		}
	return;
}

2.1.3 区间内数的约数

vector<ull> factor[size];
void find_factor(ull n) {
	for(ull i = 1;i <= n;++i) 
		for(ull j = 1;j <= n/i;++j) 
			factor[i*j].push_back(i);
	return;
}

2.2 最大公约数

2.2.1 定义

一个整数数列 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 的最大公约数（记作 $\gcd(a_1,a_2,\cdots,a_n)$）就是同时整除 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 的最大整数。

2.2.2 裴蜀定理

$\bold{Th.}$（裴蜀定理）$\forall a_1,a_2,\cdots,a_n\in \mathbb{N}$，$\exist x_1,x_2,\cdots,x_n$，$\rm{s.t.}$ $\gcd(a_1,a_2,\cdots,a_n)=\sum_{i = 1}^{n}a_i\times x_i$

$\bold{Co.}$ $a_1,a_2,\cdots,a_n\in N,a\in N_+$,则 $\gcd(a\times x_1,a\times x_2,\cdots,a\times x_n)=a\times\gcd(x_1,x_2,\cdots,x_n)$

$\bold{Co.}$ $\gcd(a_1,a_2,\cdots,a_n)=\gcd(\gcd(a_1,a_2,\cdots,a_{n-1}),a_n)$

$\bold{Co.}$ 若 $a\div b=q\cdots r$，则 $\gcd(a,b)=\gcd(b,r)$

2.2.3 欧几里得方法

其实上面的第四条已经离欧几里得方法很近了，因为 $\gcd(a,b)=\gcd(b,a\%b)$

递归去求即可:

int gcd(int a,int b) {
	return b == 0 ? a : gcd(b,a%b);
}

当然也可以循环去求：

int gcd(int x,int y) {
	int r = x%y;
	while(r) {
		x = y;
		y = r;
		r = x%y;
	}
	return y;
}

2.2.4 互质

如果两个数 $a,b\in \mathbb{N},\gcd(a,b)=1$，则称 $a,b$ 互质，记作 $a \perp b$。

2.2.5 模n逆

若 $\gcd(a,b)=1$，则 $\exists x\in \mathbb{N}$，$\bold{s.t.}$ $x\times a\equiv 1\pmod b$，且满足条件的 $x\in \mathbb{N}$ 模 $b$ 同余。这里的 $x$ 称为 $a$ 模 $b$ 意义下的逆元。

2.2.6 高斯引理

若 $a\mid b\times c,a \perp b$，则 $a\mid c$

若 $a,b,c \perp n$，且 $a\times b\equiv a\times c\pmod n$，则 $b\equiv c\pmod n$

2.3 最小公倍数

2.3.1 定义

若有一个整数数 $a_1,a_2,\cdots,a_n$，则它们的最小公倍数（记作 $\operatorname{lcm}(a_1,a_2,\cdots,a_n)$）为同时被 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 整除的最小整数。

2.3.2 性质

$\begin{aligned} &1.\operatorname{lcm}(a,b)=\dfrac{a\times b}{\gcd(a,b)}\cr\cr &2.\operatorname{lcm}(a_1,a_2,\cdots,a_n)=\operatorname{lcm}(\operatorname{lcm}(a_1,a_2,\cdots,a_{n-1}),a_n)\cr\cr &3.\operatorname{lcm}(a,b)\ge\dfrac{a\times b}{b-a}(b>a)\cr\cr &4.\text{若}\dfrac{\operatorname{lcm}(a,b)}{\gcd(a,b)}=a-b,\text{则}\operatorname{lcm}(a,b)={\gcd}^2(a,b)\cr\cr &5.\text{若}\operatorname{lcm}(x,y)-\operatorname{lcm}(x,z)=y-z,\text{则}x\mid y, x\mid z \end{aligned}$

$\text{其中我们通过性质1可得到求解最小公倍数的方法}$

int lcm(int a,int b) {
	return a*b/gcd(a,b);
}

3.质数和合数

3.1 质数

3.1.1 定义

$\text{若}p\in N_+\text{无法被除了}1\text{和它本身以外的任何自然数整除},\text{则称}p\text{为质数}$

3.1.2 试除法

$\text{根据定义，我们可以通过试除小于}n\text{的每一个整数来判断}n\text{是否为质数}$

$\text{实际上我们只用用}\left(1,\sqrt n\right]\text{试除即可}$

bool isPrime(long long aim) {
	if(aim == 1) return false;
	if(aim == 2) return true;
	long long sq = 1ll*sqrt(aim+0.5);
	for(long long i = 2;i <= sq;++i) 
		if(aim%i == 0) return false;
	return true;
}

$\text{时间复杂度就是}O(\sqrt n)$

3.1.3 Miller-Rabin素性测试

$\text{这种方法适用于快速对一个数是否为质数的问题作出判断，并要求保证较高的正确性}$

$\text{虽然但是，它的正确性不是1}$

bool Miller_Rabin(ull aim) {
	if(aim == 2) return true;
	if(aim < 2||!(aim&1)) return false;
	ull tmp = aim-1, temp = 0;
	while(!(tmp&1)) {
		temp++;
		tmp >>= 1;
	} 
	int check_times = 20;
	for(int outs = 1;outs <= check_times;++outs) {
		ull a = rand()%(aim-1)+1, x = turtle_pow(a,tmp,aim), y;
		for(int i = 1;i <= temp;++i) {
			y = turtle_mul(x,x,aim);
			if(y == 1&&x != 1&&x != aim-1) 
				return false;
			x = y;
		}
		if(y != 1) return false;
	}
	return true;
}

$\text{时间复杂度是}O(\log(n))$

3.1.4 线性筛素数

int prime[the_size];
bool check[the_size];
void linePrime(int n) {
	check[0] = check[1] = true;
	for(int i = 2;i <= n;++i) {
		if(!check[i]) 
			prime[++prime[0]] = i;
		for(int j = 1;j <= prime[0];++j) {
			if(i*prime[j] > n) break;
			check[i*prime[j]] = true;
			if(i%prime[j] == 0) break;
		}
	}
}

3.1.5 既约剩余系

$\text{若一个整数数列}a_1,a_2,\cdots ,a_k\text{使得任何与}n\text{互素的整数总是模}n\text{同余于}a_1,a_2,\cdots ,a_k\text{中的一个},$

$\text{则称}a_1,a_2,\cdots ,a_k\text{为}n\text{的既约剩余系}$

3.2 合数

3.2.1 定义

$\text{很明显},\text{若}n\in N_+\text{不是质数},\text{则它是合数}$

3.3 质数的无限性

3.3.1 证明

$\text{假设只有有限个素数}p_1,p_2,\cdots,p_k.$

$\text{考虑}p_1\times p_2\times \cdots\times p_k+1,\text{取它的一个质因子}q.$

$\text{则}q\in\{p_1,p_2,\cdots,p_k\},\text{又}q\mid p_1\times p_2\times\cdots\times p_k+1,\text{所以}q\mid 1.\text{矛盾}$

3.4 基本算术定理

3.4.1 证明

$\text{基本算术定理的内容是：}$

$\text{任何一个大于}1\text{的正整数都能被唯一分解成有限个质数的乘积，可记作：}$

\[n={p_1}^{\alpha_1}\times{p_2}^{\alpha_2}\times\cdots\times{p_k}^{\alpha_k} \]

$\text{让我们从一个弱形式开始：}$

\[\text{任何大于}1\text{的}n\in N\text{都可以写成素数的乘积} \]

$\text{证明：}$

3.4.2 质因数分解

$\text{还是试除法：}$

vector<ull> pf, times;
void prime_divide(ull n) {
	ull sq = 1ll*sqrt(n+0.5);
	for(ull i = 2;i <= sq;++i) 
		if(n%i == 0) {
			pf.push_back(i);
			times.push_back(1);
			n /= i;
			while(n%i == 0) {
				times[times.size()-1]++;
				n /= i;
			}
		}
	if(n > 1) {
		pf.push_back(n);
		times.push_back(1);
	}
}

4.威尔逊定理

4.1 内容与证明

4.1.1 威尔逊定理

$\text{威尔逊定理的内容是：}p\in N\text{为质数等价于}(p-1)!+1\equiv 0\pmod p$

4.1.2 证明

$\begin{aligned} 1.&\text{充分性：对}x\in\{1,2,\cdots,p-1\},\text{设}inv_x\times x\equiv 1\pmod p.\cr\cr &\text{现将}\{1,2,\cdots,p-1\}\text{分组},\text{若}inv_x\not=x,inv_x\text{和}x\text{一组};\text{否则}x\text{单独一组}.\cr\cr &\text{成对的}inv_x\times x\equiv 1\pmod p,\text{不成对的数}x^2\equiv 1\pmod p.\cr\cr &\text{等价于}(x-1)\times(x+1)\equiv 0\pmod p,\text{其解恰为}1\text{和}-1.\cr\cr &\text{因此}(p-1)!=1\times2\times\cdots\times(p-1)\bmod p\text{同余于不成对的数的乘积},\text{即}-1.\cr\cr 2.&\text{必要性：设}n\text{是合数},\text{记}n=a\times b\ (a,b>1),\text{则}a\times b-1\ge a.\cr\cr &\text{因此}a\mid (n-1)!,\text{与}a\mid (n-1)!+1\text{矛盾},\text{故}n\text{是质数}. \end{aligned}$

5.丢番图方程

5.1 线性丢番图方程

$\text{一个最简单的线性同余方程形如：}$

\[a_1\times x_1+a_2\times x_2+\cdots+a_k\times x_k=b \]

5.1.1 解

$1.\text{方程}a_1\times x_1+a_2\times x_2+\cdots+a_k\times x_k=b\text{有解},\text{等价于}\gcd(a_1,a_2,\cdots,a_k)\mid b$

$2.\text{若方程}a\times x+b\times y=c\text{有一特解}(x_0,y_0),$

$\text{则有通解}(x_0+\dfrac{b}{\gcd(a,b)}\times t,y_0+\dfrac{b}{\gcd(a,b)}\times t)\ (t\in Z)$

5.1.2 扩展欧几里得方法

$\text{扩展欧几里得用来解决这样一个特殊的同余方程：}a\times x+b\times y=\gcd(a,b)$

$\text{其中}a,b\text{已知}$

ull ex_gcd(ull a,ull b,ull &x,ull &y) {
	if(b == 0) {
		x = 1, y = 0;
		return a;
	}
	ull res = ex_gcd(b,a%b,x,y);
	ull tmp = x;
	x = y;
	y = tmp-a/b*y;
	return res;
}

$\text{设解为}(x_0,y_0),\text{则方程}a\times x+b\times y=c\text{的一组特解为}(\dfrac{c}{\gcd(a,b)}\times x_0,\dfrac{c}{\gcd(a,b)}\times y_0)$

6.排列与组合

6.1 加法原理

6.2 乘法原理

6.3 排列数

6.4 组合数

6.5 二项式定理

7.数论函数

7.1 常见数论函数

7.1.1 常见数论函数

$\begin{aligned} &\varphi(n):\left[1,n\right]\text{中与}n\text{互质的数的个数}\cr\cr &\tau(n):n\text{的正因子个数}\cr\cr &\sigma(n):n\text{的正因子之和}\cr\cr &\omega(n):n\text{的不同质因子的个数}\cr\cr &\Omega(n):n\text{的质因子的个数}\cr\cr &\pi(n):\left[1,n\right]\text{中的质数的个数}\cr\cr &\mu(n)=\begin{cases} (-1)^{\omega(n)}&\omega(n)=\Omega(n)\\ 0&\omega(n)\not=\Omega(n)\\ \end{cases}\cr\cr &\nu_p(n):n\text{的质分解中}p\text{的幂次}\cr\cr &\gamma_k(n):\text{满足}n={x_1}^2+{x_2}^2+\cdots+{x_k}^2\text{的数组}{x_1,x_2,\cdots,x_k}\text{的个数} \end{aligned}$

7.2 数论卷积

7.3 积性函数

7.4 欧拉函数

7.4.1 性质

$\text{设}n\text{的质因子分解式为}{p_1}^{\alpha_1}\times{p_2}^{\alpha_2}\times\cdots\times{p_k}^{\alpha_k}$

$\begin{aligned} &1.\varphi(n)=\prod\limits_{i=1}^{k}({p_i}^{\alpha_i-1}\times(p_i-1))\cr &\ \ \ \varphi(n)=n\times\prod\limits_{i=1}^{k}(1-\dfrac{1}{p_i})\cr\cr &2.\text{若}\gcd(n,m)=1,\text{则}\varphi(m\times n)=\varphi(n)\times\varphi(m)\cr &\ \ \ \text{若}a\mid b,\text{则}\varphi(a)\mid\varphi(b)\cr\cr &3.\sum\limits_{i=1}^{n}(\varphi(i)\times\left\lfloor\dfrac{n}{i}\right\rfloor)=\dfrac{n\times(n+1)}{2}\cr\cr &4.\sum\limits_{d\mid n}\varphi(d)=n\cr\cr &5.\text{若}d\mid n,\text{则}\left[1,n\right]\text{中与}n\text{的最大公约数为}d\text{的个数有}\varphi(\tfrac{n}{d})\text{个} \end{aligned}$

7.4.2 求法

$\text{利用上文的性质}1\text{我们可以求解}\varphi(n)$

ull EulerFunction(ull aim) {
	ull sq = 1ll*sqrt(aim+0.5);
	ull ans = aim;
	for(ull i = 2;i <= sq;++i) 
		if(aim%i == 0) {
			ans = ans/i*(i-1);
			while(!(aim%i)) 
aim /= i;
		}
	if(aim > 1) ans = ans/aim*(aim-1);
	return ans;
}

7.4.3 线性求法

ull primeLine[z];
bool primeIs[z] = {1,1};
ull phiLine[z];
void linePhi(ull n) {
	phiLine[1] = 1;
	for(ull i = 2;i <= n;++i) {
		if(!primeIs[i]) {
			primeLine[++primeLine[0]] = i;
			phiLine[i] = i-1;
		}
		for(int j = 1;j <= primeLine[0]&&i*primeLine[j] <= n;++j) {
			primeIs[i*primeLine[j]] = true;
			if(!(i%primeLine[j])) {
				phiLine[i*primeLine[j]] = primeLine[j]*phiLine[i];
				break;
			} else {
				phiLine[i*primeLine[j]] = (primeLine[j]-1)*phiLine[i];
			}
		}
	}
}

7.5 莫比乌斯函数

7.5.1 性质

$\text{莫比乌斯函数的一个重要性质是：}\sum\limits_{d\mid n}\mu(d)=\delta_{1,n}$

$\text{注}:\delta_{a,b}=\begin{cases}1&a=b\\0&a\not=b\\\end{cases}$

$ n=1\text{显然},$

7.5.2 莫比乌斯反演

$\text{接下来我们来证明莫比乌斯反演}:$

$\text{若}f(n)=\sum\limits_{d\mid n}g(d),\text{则}g(n)=\sum\limits_{d\mid n}(\mu(\tfrac{n}{d})\times f(d))$

$\begin{aligned}\sum\limits_{d\mid n}(\mu(\tfrac{n}{d})\times f(d))=\sum\limits_{d\mid n}(\mu(\tfrac{n}{d})\times\sum\limits_{e\mid d}g(e)\end{aligned}$

$\ \ \begin{aligned} &=\sum\limits_{e\mid n}(g(e)\times\sum\limits_{e\mid d\mid n}\mu(\tfrac{n}{d}))\cr &\text{记}d = e\times x\cr &=\sum\limits_{e\mid n}(g(e)\times\sum\limits_{x\mid\tfrac{n}{e}}\mu(\frac{\tfrac{n}{e}}{x}))\cr &=\sum\limits_{e\mid n}(g(e)\times\delta_{1,\tfrac{n}{e}})\cr &=g(n) \end{aligned}$

$\text{它还有乘积形式：}$

$\text{若}f(n)=\prod\limits_{d\mid n}g(d),\text{则}g(n)=\prod\limits_{d\mid n}{f(d)}^{\mu(\tfrac{n}{d})}$

7.5.3 无平方因子数

$\text{我们定义}Q(n)\text{为}\left[1,n\right]\text{中的无平方因子数的个数},\text{则：}$

\[Q(n)=\sum\limits_{k\le\sqrt n}(\mu(k)\times\left\lfloor\frac{n}{k^2}\right\rfloor) \]

8.费马小定理和欧拉定理

8.1 费马小定理

**8.1.1 费马小定理

\[\text{对于素数}p\text{和正整数}a,\text{有}a^p\equiv a\pmod p \]

8.1.2 证明

8.1.3 一些推论

8.2 欧拉定理

**8.2.1 欧拉定理

\[\text{若}a,n\in N_+,\gcd(a,n)=1,\text{则}a^{\varphi(n)}\equiv 1\pmod n \]

8.3 扩展欧拉定理

**8.3.1 扩展欧拉定理

\[ a^b=\begin{cases} a^{b \bmod \varphi(n)}&gcd(a,n)=1\\ a^b&gcd(a,n)\not=1,b < \varphi(n)\pmod m\\ a^{(b\bmod \varphi(n))+\varphi(n)}&gcd(a,n)\not=1,b\ge\varphi(n)\\ \end{cases}\]

9.乘法逆元

9.1 费马小定理

$\text{由费马小定理可得：}a\text{在模质数}p\text{意义下的逆元为}a^{p-2}$

ull quick_pow(ull a,ull n,ull p) {
	ull res = 1;
	a %= p;
	while(n) {
		if(n&1) res = res*a%p;
		a = a*a%p;
		n >>= 1;
	}
	return res;
}
ull p_inv(ull a,ull p) {
	return quick_pow(a,p-2,p);
}

9.2 欧拉定理

$\text{有欧拉定理可得：若}\gcd(a,n)=1\text{则}a\text{在模}n\text{意义下的逆元为}a^{\varphi(n)-1}$

$\text{我们不用担心这种方法求逆元会受到限制，因为如果}\gcd(a,n)\not=1,$

$\text{则不存在}a\text{模}n\text{意义下的逆元}$

9.3 扩展欧几里得

$\text{由于}a\text{在模}n\text{意义下的逆元}x\text{满足}a\times x\equiv1\pmod n$

$\text{所以有方程}a\times x+n\times y=1,\text{根据逆元性质},\gcd(a,n)=1,$

$\text{所以解方程}a\times x+n\times y=\gcd(a,n)\text{即可}$

ull ex_gcd(ull a,ull b,ull &x,ull &y) {
	if(!b) {
		x = 1, y = 0;
		return a;
	}
	ull res = ex_gcd(b,a%b,x,y);
	ull tmp = x;
	x = y;
	y = tmp-a/b*y;
	return res;
}
ull gcd_inv(ull a,ull p) {
	ull x, y;
	ull tmp = ex_gcd(a,p,x,y);
	if(tmp != 1) return -1;
	return ((x%p)+p)%p;
}

9.4 线性求逆元

ull inv[size];
void line_inv(ull n,ull p) {
	inv[1] = 1;
	for(ull i = 2;i <= n;++i) 
		inv[i] = 1ll*(p-p/i)*inv[p%i]%p;
	return;
}

10.中国剩余定理

10.1 中国剩余定理

$\text{我们现在有一个同余方程组如下}:$

$\begin{cases} x\equiv a_1\pmod{m_1}\\ x\equiv a_2\pmod{m_2}\\ \vdots\\ x\equiv a_n\pmod{m_n}\\ \end{cases}$

$\text{其中}m_1,m_2,\cdots,m_n\text{两两互质}$

$\text{那么设}M = \prod\limits_{i=1}^{n}m_i,M_i=\dfrac{M}{m_i},inv_i\text{为}M_i\text{在模}m_i\text{意义下的逆元}$

$\text{则方程组有一特解为}x_0=\sum\limits_{i=1}^{n}(M_i\times a_i\times inv_i)$

$\text{同时这个方程的通解为}x=x_0+k\times M(M\in Z)$

$\text{此时我们就可以通过算乘法逆元来求解此同余方程组了}$

ull ex_gcd(ull a,ull b,ull &x,ull &y) {
	if(!b) {
		x = 1,  y = 0;
		return a;
	}
	ull res = ex_gcd(b,a%b,x,y);
	ull tmp = x;
	x = y;
	y = tmp-a/b*y;
	return res;
}
ull CRT(const ull n,ull *m,ull *a) {
	ull M = 1, Mi, x, y, res = 0;
	for(int i = 1;i <= n;++i) 
		M *= m[i];
	for(int i = 1;i <= n;++i) {
		Mi = M/m[i];
		ex_gcd(Mi,m[i],x,y);
		res += (a[i]*Mi%M*x%M+M)%M;
	}
	return (res%M+M)%M;
}

10.2 扩展中国剩余定理

$\text{现在出题人不想让}m_1,m_2,\cdots,m_n\text{两两互质了}$

$\text{我们的思路是先把两个方程合在一起，解此方程组，同时判断是否有解}$

$\text{最后得出整个方程组的解}$

ull ex_gcd(ull a,ull b,ull &x,ull &y) {
	if(!b) {
		x = 1,  y = 0;
		return a;
	}
	ull res = ex_gcd(b,a%b,x,y);
	ull tmp = x;
	x = y;
	 y = tmp-a/b*y;
	return res;
}
void per_CRT(ull &a1,ull &a2,ull &m1,ull &m2,bool &flag) {
	ull delta = a2-a1, x, y;
	ull mgcd = ex_gcd(m1,m2,x,y);
	if(!(delta%mgcd)) {
		x = ((x*delta/mgcd)%(m2/mgcd)+(m2/mgcd))%(m2/mgcd);
		a1 = x*m1+a1;
		m1 = m1*m2/mgcd;
	} else flag = true;
}
ull ex_CRT(ull n,ull *a,ull *m) {
	for(int i = 2;i <= n;++i) {
		bool flag = false;
		per_CRT(a[1],a[i],m[1],m[i],flag);
		if(flag) return -1;
	}
	return a[1];
}

11.卢卡斯定理

11.1 卢卡斯定理

11.1.1 Lucas 定理

$\text{设}:$

\[n = n_k\times p^k+n_{k-1}\times p^{k-1}+\cdots+n_0 \]

\[m = m_k\times p^k+m_{k-1}\times p^{k-1}+\cdots+m_0 \]

$\text{分别为}n,m\text{的}p\text{进制表达式}$

$\text{则有}:$

\[C_{n}^{m} = \prod\limits_{i=0}^{k}C_{n_i}^{m_i}\pmod p \]

$\text{那么我们一路递归求下去就好了}$

ull Lucas(ull n,ull m,ull p) {
	if(!m) return 1;
	return C(n%p,m%p,p)*Lucas(n/p,m/p,p)%p;
}

11.1.2 证明

11.2 扩展卢卡斯定理

11.2.1 Ex-Lucas 定理

const int size = 1024;
#define ull long long
ull quick_pow(ull a,ull n,ull p) {
	ull res = 1;
	a %= p;
	while(n) {
		if(n&1) res = res*a%p;
		a = a*a%p;
		n >>= 1;
	}
	return res;
}
void ex_gcd(ull a,ull b,ull &x,ull &y) {
	if(!b) {
		x = 1, y = 0;
		return;
	}
	ex_gcd(b,a%b,x,y);
	ull tmp = x;
	x = y;
	y = tmp-a/b*y;
}
ull inv(ull n,ull p) {
	ull x, y;
	ex_gcd(n,p,x,y);
	return (x%p+p)%p;
}
inline ull roll(ull n,ull x,ull p) {
	if(n == 0) return 1;
	ull ret = 1, rem = 1;
	for(ull i = 1;i <= p;++i) 
		if(i%x) ret = ret*i%p;
	ret = quick_pow(ret,n/p,p);
	for(ull i = p*(n/p);i <= n;++i) 
		if(i%x) rem = rem*(i%p)%p;
	return roll(n/x,x,p)*ret%p*rem%p;
}
inline ull get(ull n,ull x) {
	if(n < x) return 0;
	return get(n/x,x)+(n/x);
}
ull multiLucas(ull m,ull n,ull x,ull p) {
	ull ror = roll(n,x,p);
	ull tmp1 = inv(roll(m,x,p),p), tmp2 = inv(roll(n-m,x,p),p);
	ull mi = quick_pow(x,get(n,x)-get(m,x)-get(n-m,x),p);
	return ror*tmp1%p*tmp2%p*mi%p;
}
ull exLucas(ull m,ull n,ull p) {
	ull moyn = p;
	ull bit[size] = {0}, a[size];
	for(ull i = 2, temp;i*i <= p;++i) 
		if(p%i == 0) {
			temp = 1;
			while(moyn%i == 0) {
				temp *= i;
				moyn /= i;
			}
			bit[++bit[0]] = temp;
			a[bit[0]] = multiLucas(m,n,i,temp);
		}
	if(moyn != 1) {
		bit[++bit[0]] = moyn;
		a[bit[0]] = multiLucas(m,n,moyn,moyn);
	}
	ull ans = 0;
	for(ull i = 1;i <= bit[0];++i) {
		ull h = p/bit[i];
		ull k = inv(h,bit[i]);
		ans = (ans+a[i]*h%p*k%p)%p;
	}
	return ans;
}

12.阶与原根

12.1 阶

12.1.1 定义

满足$a^n\equiv 1\pmod m$的最小正整数$n$称作$a$模$m$的阶，记为$\delta_m(a)$。

12.1.2 性质

$a,a^2,\cdots,a^{\delta_m(a)}$ 模 $m$ 两两不同余。
若 $a^n\equiv 1\pmod m$，则 $\delta_m(a)\mid n$
若 $a^p\equiv a^q\pmod m$，则 $p\equiv q\pmod {\delta_m(a)}$
若 $\gcd(a,m)=\gcd(b,m)=1$，则 $\delta_m(a\cdot b)=\delta_m(a)\cdot\delta_m(b)\iff\gcd(\delta_m(a),\delta_m(b))=1$
若 $\gcd(a,m) = 1$，则 $\delta_m(a^k)=\dfrac{\delta_m(a)}{\gcd(\delta_m(a),k)}$

12.2 原根

12.2.1 定义

若 $\gcd(a,m)=1$ 且 $\delta_m(a)=\varphi(m)$，则称 $a$ 为模 $m$ 的原根。

12.2.2 性质

1.若 $m\ge 3,\gcd(a,m)=1$，则 $a\text{是模}m\text{的原根}\iff \forall p\text{是素数}\mid \varphi(m),a^{\frac{\varphi(m)}{p}}\not\equiv 1\pmod m$（判定定理）

2.若 $m$ 有原根，则 $m$ 有 $\varphi(\varphi(m))$ 个原根。（个数）

3.$m\text{存在原根}\iff m=2,4,p^k,2\cdot p^k\ (k\in\mathbb{N}_+,p\text{为素数})$（存在定理）

4.若 $m$ 有原根，则最小原根不多于 $m^{0.25}$（这个好离谱，不过我们可以暴力找原根了）

posted @ 2024-12-13 10:30 noaL02d 阅读(20) 评论(0) 编辑收藏举报

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