线性代数本质理解回顾（六）点积与对偶性

 这个计算有一个完美的几何解释。

 

 

 当两个向量的大致方向相同，则为正。若垂直 则为0.  若相反，则为负。

点积与顺序无关让我感到惊讶。直观上说说为什么无关，如果有对称性，则可以利用对称性。 

 

 

 

 

为什么点积是对应坐标相乘并将结果相加？

 

 在继续深入之前，我想讨论一下 多维空间到一维空间的线性变换。

 

 有不少函数能接收二维向量并输出一个数，

同样是二维输入和一维输出，和一般的函数相比，线性变换的要求更加严格。 

如果你有一系列等距分布于一条直线上的点，然后应用变换 ，

 线性变换会保持这些点等距分布在输出空间中，也就是数轴上。

 否则这些点没有等距分布，那么这个变换就不是线性的。

 这些线性变换完全由它对i帽和j帽的变换决定。只不过，这些基向量这次只落在一个数上，

 实际上，我们可以说1*2矩阵与二维向量之间有着微妙的联系，这种关系在于，将向量放到，从而得到与之相关的矩阵。

或者将矩阵立直，从而得到与之相关的向量。 

将向量转化为数的线性变换和这个向量本身有着某种关系。

举个例子说明这种关系的重要性，而它恰恰回答了之间提到的点积的问题。

假设你还不知道点积与投影有关，我现在将数轴复制一份，然后保持0在原点，将它斜向放置在空间中，现在考虑这样一个二维向量，它的终点落在这条数轴的1上，我给它起个名字，就叫u帽，这个向量在接下来的讲解中扮演重要的角色。

 如果我们将二维向量直接 投影到这条数轴上，

 实际上，我们就这样定义了一个从二维向量到数的函数，

 

 更重要的是，这个函数是线性的，因为它顺利通过了线性检验，即直线上等距分布的点在投影到数轴上后仍然等距分布。

 

这里说明一点，即便我把这条数轴放在二维空间中，上述函数的输出结果还是数，而不是二维向量，你应该把它看作一个接受两个坐标并输出一个坐标的函数。

 不过 u帽是二维空间中的一个向量， 而它又碰巧落在这条数轴上，根据这个投影，我们定义了一个从二维向量到数的线性变换，所以我们就能找到描述这个变换的1*2矩阵。

 为了找到这个矩阵，我们把这条数轴放大来看，并且需要考虑变换后i帽和j帽的位置，因为它们就是矩阵的列，这一部分内容超级漂亮。我们可以通过精妙的对称性进行推理，因为i帽和u帽都是单位向量，

 

 所以说，如果要问i帽在投影之后落在哪个数上，答案就是u帽向x轴投影所得到的数， 而u帽向x轴投影得到的数就是u帽的横坐标。因此根据对称性，将i帽向斜着的数轴上投影所得到的数，就是u帽的横坐标，