数码的可达问题——八数码的一些想法

     数码的可达问题——8数码的推广

   

   一个经典的问题：8数码

       有一个3*3的九宫格，每格填有一个数0到8的数，互不相同。

   填的数为0的格子可以和相邻的格子交换数。

       给定九宫格的两种状态a，b，

问能否通过一组交换使得a状态变成b状态。

 

这个问题的标准解法是：把两个状态中的数（除0外）线性地排列出来并且分别求其

逆序对数，若两个逆序对数的奇偶性相同，那么a，b相互可达。

 

这个做法相当优美，但是它只是利用了这类问题的某个性质，究竟是什么性质呢？

 

首先考虑一个2*2的棋盘

 

容易发现，交换操作过后，只可能是当前状态的某个轮换。

 

以此为基础，可以用数学归纳法得到一个结论：

 

在任一 N*M的格子中，取任意三个非0的数，可以有一组交换操作使得

他们的位置产生轮换，而其它的数位置不变。

 

基于这个观察（事实上我觉得比之前的那个结论范围要广一点），可以得到一个不弱于

求逆序对数的算法。

 

1．把两个状态中的数按顺序排成一个一位数组，

2．删去其中位置已经相同了的数

3．在剩下的数组1中，任找一个数A，若A在数组2中出现的位置为a，那么选取另外两个数

   B，C，其中B在数组1中的位置为b，C任意，对 A，B，C三个数执行一次轮换

4．重复步骤2，3，直到数组中的元素个数为3

5．元素个数为3的时候很容易判断是否可达。

 

由于这个条件更本质，所以理所应当地可以推广到更多的场合中