二进制数的有效讨论
为什么-128的二进制表示是10000000？
这里面就要讨论到有关于真数在计算机中表示了。
在计算机内部，所有的信息都是由二进制数串表示的，这其中就分为了无符号和有符号。无符号的整数用来表示正数和0，有符号的整数则可以用来表示全体整数。
由于计算机中的整数全部由二进制表示，所以正负号也全部由0(正)和1(负)表示。一般来讲，将进制中的最高有效位设置为符号位。将一个真值表示成二进制数串的机器数的过程被称为编码。
而其中，规定真值在计算机中的二进制表示通通由它们的补码表示。为什么要用补码？
- 因为补码可以将符号位与其他位统一处理，同时减法也可以按加法来运算，即如果是补码表示的数，不管是加减法都直接用加法运算即可实现；
- 两个用补码表示的数相加时，若果最高位有进位则舍弃进位。
这样做的好处是：
- 是符号位能够与有效值部分一同参加运算，简化运算规律。从而可以简化运算器的结构，提高运算速度；
- 加法运算比减法运算更易于实现。进一步简化运算器线路设计。
下面深入分析采用补码的原因：
用带符号位的原码进行乘除运算时结果正确,而在加减运算的时候就出现了问题 ，如下：
1D-1D = 1D + (-1D) = 0D
(00000001)原 + (10000001)原 = (10000010)原 = -2
这显然是错误的。因为在两个整数的加法运算中是没有问题的，于是就发现问题出在带符号的负数上。
用带符号的反码进行运算，如下：
1D- 1D = 1D + (-1D) = 0D
(00000001) 反+ (11111110)反 = (11111111)反 = ( -0 ) 有问题。
1D - 2D= 1D+ -2D = (-1)D
(00000001) 反+ (11111101)反 = (11111110)反 = ( -1 ) 正确
问题出现在(+0)和(-0)上，在人们的计算概念中零是没有正负之分的。
现在再来看下有符号的补码运算，如下：
1D- 1D = 1D + (-1D) = 0D
(00000001)补 + (11111111)补 = (00000000)补 = 0D
1D + 1D = 2D
(00000001)补 + (00000001)补 = (00000010)补 = 2D
由此可以证明计算机中的带符号运算都是基于补码实现的。
二进制中的特殊值
反码表示法规定：正数的反码就是其本身。负数的反码保持符号位不变其他按位取反。
而8位二进制能表示的反码范围为：-127~127.
此时-128没有原码和反码。这是因为-0与-128的反码一致，且看：
-0 = (10000000)原 = (11111111)反
-128 = (10000000)原 = (11111111)反 [**<span style='color:red'>假设</span>**]
此时，-1与-128的反码冲突，所以当有了-0的原码反码时就不该有-128的原码反码。
我们再来看一下八位二进制中的原码、反码、补码的范围：
原码：-127~127
反码：-127~127
补码：-128~127
此时会发现补码比反码多了一个，这是因为0这个因素。
+0： (00000000)原 (00000000)反 (00000000)补
-0: (10000000)原 (11111111)反 (00000000)补
**需要说明为什么-0的补码还是00000000**
补码本质是用来构成一个环，以实现一个同余运算。以8位整数为例，取得的结果永远是2^8次方的余数，这与有无符号无关。
用计算器做加法运算时，实际上做的是同余加法，即：
1+2 ≡ 1(mod 256)+ 2(mod 256) ≡ 3(mod 256)
这样做的好处是无论所运算的是否为有符号，都可以使用同样的运算规则。
256的余数总共就256种，分别是0~255。但是我们希望表示一个负数，那怎么做呢？
255 ≡ -1(mod 256) ≡ 255(mod 256)
于是乎就用255来表示了。考虑到取值范围，以及为了方便区分，我们定义有一半的数是正数、一半的数是负数，恰恰就是二进制最高位为1则是负数，最高位为0则表示正数范围，这个就是补码的本质。
至于补码的计算方法，也就是取反加1，完全是因为：
x+~x ≡ 255(mod 256)
这与『符号位』无关，它的逆运算，其实求解的是：
x+~x+1 ≡ 0(mod 256)
可以得出：-x ≡ ~x+1(mod 256)
此时把0代入可得：-0 ≡ ~0+1(mod 256) ≡ 255+1(mod 256) ≡ 0；
所以，补码能表示的数的个数中，比原码反码少了一个，所以补码可以多表示一个真值为-128的数。
但是，多表示的这个数-128比较特殊，只有原码和补码，没有反码。
-128的补码是1000 0000。
为什么-128的补码是10000000呢？
可根据上文进行推导：
-128 ≡ ~128+1(mod 256) ≡ 127+1(mod 256) ≡ 128；
所以-128的补码与128一致即为10000000。
作者：今天还是要喝水 链接：https://www.cnblogs.com/flowerslip/p/5933833.html
作者：Coldwings 链接：https://www.zhihu.com/question/21511392/answer/82989720
