leetcode14-II 剪绳子II DP 解法配合快速乘取模

　　* @Description 将一条绳子剪成任意 m 段，m 大于 1 ，求最大积
　　* 决定问题规模的参数为绳子的长度 n
　　* 按 n 进行分治，G( n ) 为长度为 n 的绳子分割后可得的最大积，可列出状态转移方程：
　　* G( n ) = max { G(n-1)*1 , G(n-2)*2...G(1)*(n-1) , n }
　　* 之所以最后还有一个 n ，是考虑要覆盖到不分段时的结果
　　* 但是在第一次分段，也就是对完整的绳子分段时不能考虑 n ，因为 m 大于 1，这里要做特殊处理

　　递归描述：

    public int cuttingRope0(int flag, boolean isRoot, int[] cache) {
        if (flag == 1) {
            return 1;
        }
        if (cache[flag] != 0) {
            return cache[flag];
        }
        int max = 0;
        for (int i = 1; i <= flag; i++) {
            int re = cuttingRope0(flag - i, false, cache);
            max = Math.max(qmul_mod(re,i,1000000007), max);
        }
        if (!isRoot) {
            max = Math.max(max, flag);
        }
        cache[flag] = max;
        return max;
    }

　　结果没有问题，但是未对大数取模。我们将其优化为递推描述，并添加取模逻辑：

    public int cuttingRope(int n) {
        if (n < 2) {
            return n;
        }
        BigInteger[] cache = new BigInteger[n + 1];
        cache[1] = new BigInteger("1");
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= i; j++) {
                BigInteger re = cache[i - j].multiply(new BigInteger(String.valueOf(j)));
                cache[i] = cache[i].max(re);
            }
            if (i != n) {
                cache[i] = cache[i].max(new BigInteger(String.valueOf(i)));
            }
        }
        return cache[n].mod(new BigInteger("1000000007")).intValue();
    }

　　这里我们直接使用了 BigInteger 类进行大数运算，除此之外我们也可以借助快速乘取模算法进行 int 的取模。

　　快速乘取模算法的思路是，对于 a*b ，我们可以将 b 看做一个二进制数。

　　比如 9：

 

 　　那么 a*9 可以转化为：

 

 　　我们对 a ，b 不断进行右移、左移操作分步进行计算。快速乘：

    public static int qmul_num(int a, int b) {
        int ans = 0;
        while (b != 0) {
            if ((b & 1) != 0) {
                ans += a;
            }
            b >>= 1;
            a <<= 1;
        }
        return ans;
    }

　　快速乘配合取模：

    public static int qmul_mod(int a, int b, int mod) {
        int ans = 0;
        while (b != 0) {
            if (((b %= mod) & 1) != 0) {
                ans += a %= mod;
            }
            b >>= 1;
            a <<= 1;
         }
        return ans % mod;
    }