JAVA并归排序

　　

　　并归排序与快速排序相似，靠分治思想突破了排序算法 O(n²) 的瓶颈。

　　我们看回顾一下几大排序算法的时间、空间复杂度：

排序算法	平均时间复杂度	最坏时间复杂度	空间复杂度	是否稳定
冒泡排序	O（n2）	O（n2）	O（1）	是
选择排序	O（n2）	O（n2）	O（1）	不是
直接插入排序	O（n2）	O（n2）	O（1）	是
归并排序	O(nlogn)	O(nlogn)	O（n）	是
快速排序	O(nlogn)	O（n2）	O（logn）	不是
堆排序	O(nlogn)	O(nlogn)	O（1）	不是
希尔排序	O(nlogn)	O（ns）	O（1）	不是
计数排序	O(n+k)	O(n+k)	O(n+k)	是
基数排序	O(N∗M)	O(N∗M)	O(M)	是

　　早期的排序算法总是免不了元素间的一一比较，因此时间复杂度很难突破 O(n²) 。而并归排序采用分治的思想将问题的规模缩小，使用小问题的解来解决大问题，并由此突破了 n² 的诅咒。

　　以冒泡排序为例，我们需要n次遍历，每次遍历将数组中最大或者最小的元素冒到顶端，而这样的遍历需要 n-1 次。本质上每次遍历等于从所有元素中找到最大或者最小的元素，这就要求我们需要遍历和比较到数组中未排序的每一个元素。

　　所以冒泡排序的计算次数为 n-1 + n-2 + n-3 +...+1 = n(n+1)/2 ,时间复杂度表示为 O(n²)。

　　那么我们想一下，如果我们不是对一个杂乱的序列进行排序，而是对两个有序的子序列进行排序的话情况会是怎样的：

　　我们可以维护两个指针分别指向两个子序列的顶端，选择较小的元素放入新的序列，并向后移动指向拿走的元素的指针。这样我们从未排序的元素中选出一个最小或最大的数只要比较一次。

　　我们可以不断的缩小排序序列的范围来构建有序的子序列，从下向上一层一层逐步完成对整个序列的排序。

　　缩小的排序范围的过程是这样的，不断的将序列分解为俩个子序列，直到序列无法分解。比如一个序列长度为8：

　　两个长度为4的子序列--->四个长度为2的子序列---->八个长度为1的子序列。

　　分解过程就像一颗 B树 向下分裂（不同的是分裂时父节点不变），第 n 层的拥有 2ⁿ  个节点，也就是说直到每个节点中只包含一个元素时共分裂 log₂n 次。

　　而每一层总的元素数不变，使该层所有序列变为有序数列需要 n 次比较。

　　整个过程下来，我们需要比较 nlog₂n 次。也就是并归排序的时间复杂度为 O( nlog₂n ) 。

　　（也不知道为什么，用小问题推导大问题总是比直接解决大问题来的快，可能是程序员的命吧。其实个人觉着不管什么问题，如果有办法用子问题来推导原问题，那么时间复杂度中一定包含log_{分解出的子问题数量}问题规模，一旦觉着自己当前尝试的解法比该解法时间复杂度高，不妨尝试一下分治。）

　　所以我们有两个关键步骤：分解为子序列、合并子序列为一个有序序列。

　　下面上代码，注释比较全，以下两种解法都已在leetcode提交通过：

    /**
     * @Author Nxy
     * @Date 2019/12/4
     * @Param
     * @Return
     * @Exception
     * @Description 数组并归排序
     *  将begin、end间的数组分解为两个子序列并回归排序
     */
    public static void mergeSort(int[] nums, int begin, int end) {
        int length = nums.length;
        //回归条件，子序列长度为一时返回
        if (begin == end) {
            return;
        }
        //序列中点
        int mid = (begin + end) / 2;
        //排序左边子序列
        mergeSort(nums, begin, mid);
        //排序右边子序列
        mergeSort(nums, mid + 1, end);
        //并归已排序的左右子序列
        merge(nums, begin, mid, end);

    }

    /**
     * @Author Nxy
     * @Date 2019/12/4
     * @Param
     * @Return
     * @Exception
     * @Description 并归  begin--mid  与  mid+1--end  两个子序列
     */
    public static void merge(int[] nums, int begin, int mid, int end) {
        //临时数组大小
        int length = end - begin + 1;
        int[] temp = new int[length];
        //临时数组将要填充的位置指针
        int i = 0;
        //左子序列将要拿出的位置指针
        int left = begin;
        //右子序列将要拿出的位置指针
        int right = mid + 1;
        while (i < length) {
            //一个子序列为空，将另一个子序列余下的元素放入临时数组
            if (left == mid + 1) {
                System.arraycopy(nums, right, temp, i, end - right + 1);
                break;
            }
            if (right == end + 1) {
                System.arraycopy(nums, left, temp, i, mid - left + 1);
                break;
            }
            //选择较小的元素放入临时数组
            if (nums[left] >= nums[right]) {
                temp[i] = nums[right];
                right++;
                i++;
            } else {
                temp[i] = nums[left];
                left++;
                i++;
            }
        }
        System.arraycopy(temp, 0, nums, begin, length);
        //手动为临时数组去掉引用，方便连续的内存空间被及时回收
        temp=null;
    }    

　　链表的并归排序与数组一个思路：

  /**
     * @Author Nxy
     * @Date 2019/12/4
     * @Param
     * @Return
     * @Exception
     * @Description 链表并归排序
     * 递归分解序列为两个子序列，并向上并归排序,返回排序后的总链表
     * 使用快慢指针法，快指针到终点时慢指针指向中点
     */
    public static ListNode mergeSort(ListNode head) {
        //回归条件
        if (head.getNext() == null) {
            return head;
        }
        //快指针,考虑到链表为2时的情况，fast比slow早一格
        ListNode fast = head.getNext();
        //慢指针
        ListNode slow = head;
        //快慢指针开跑
        while (fast != null && fast.getNext() != null) {
            fast = fast.getNext().getNext();
            slow = slow.getNext();
        }
        //找到右子链表头元素，复用fast引用
        fast = slow.getNext();
        //将中点后续置空，切割为两个子链表
        slow.setNext(null);
        //递归分解左子链表,得到新链表起点
        head = mergeSort(head);
        //递归分解右子链表,得到新链表起点
        fast = mergeSort(fast);
//        System.out.println(head.getValue()+"  "+fast.getValue());
        //并归两个子链表
        ListNode newHead = merge(head, fast);
//        ListNode.print(newHead);
        return newHead;
    }

    /**
     * @Author Nxy
     * @Date 2019/12/4 14:48
     * @Param
     * @Return
     * @Exception
     * @Description 以left节点为起点的左子序列 及 以right为起点的右子序列 并归为一个有序序列并返回头元素；
     * 传入的 left 及 right 都不可为 null
     */
    public static ListNode merge(ListNode left, ListNode right) {
        //维护临时序列的头元素
        ListNode head;
        if (left.getValue() <= right.getValue()) {
            head = left;
            left = left.getNext();
        } else {
            head = right;
            right = right.getNext();
        }
        //两个子链表均存在剩余元素
        ListNode temp = head;
        while (left != null && right != null) {
            //将较小的元素加入临时序列
            if (left.getValue() <= right.getValue()) {
                temp.setNext(left);
                left = left.getNext();
                temp = temp.getNext();
            } else {
                temp.setNext(right);
                right = right.getNext();
                temp = temp.getNext();
            }
        }
        //左子序列用完将右子序列余下元素加入临时序列
        if (left == null) {
            temp.setNext(right);
        }
        //右子序列用完将左子序列余下元素加入临时序列
        if (right == null) {
            temp.setNext(left);
        }
        ListNode.print(head);
        return head;
    }