截止12/26为止,大约得知的比较干货的一些方法,仅适于做题
一.
矩阵的相似对角化:判断一个矩阵是否对角化
1.观察矩阵,看是否是实对称矩阵,如果是,那么直接可以判断。
2.判断矩阵的特征向量是否有重根,如果根有重复,那么看第三步,如果根无重复,那么就是可对角化。
3.如果有重根,则将该重根作为特征值计算矩阵,得出最简矩阵,得到秩,用n减秩得到的值与重根的数相比较,即n-r=k。
以上基本是判断是否对角化的步骤。
二.
当遇到矩阵相似,则有:
1.迹相等,即对角相等。
2.行列式相等。
三.
一个矩阵的特征值可以把矩阵化成三角型,则对角即为特征值
四.
如何判断两矩阵相似:
1、两者的秩相等。
2、两者的行列式值相等。
3、两者的迹数相等。
4、两者拥有同样的特征值,尽管相应的特征向量一般不同。
5、两者拥有同样的特征多项式。
6、两者拥有同样的初等因子。
7、若A与对角矩阵相似,则称A为可对角化矩阵,若n阶方阵A有n个线性无关的特征向量,则称A为单纯矩阵。
8、相似矩阵具有相同的可逆性,当它们可逆时,则它们的逆矩阵也相似。
五.
AX=0;
首先看一看x=0及为一解,但我们肯定不会这么简单,我们所谈论的是x的非零解
A作为一个矩阵进行初等变换得到最简之后可以看出来秩,其非零解个数为n-r=k。
(其中n为矩阵的相应行或列元素数,r为秩的值,k为非零解的数)
(2)解的情况 / 数量:
Amxn 长方形矩阵(==表示前后条件等价,为充要条件可互推。)
r(A) = n == 只有0解,有唯一解
r(A) < n == 有无穷多解(包括0解、非零解),此时(齐次方程时)也可说“有非零解”、“不只有零解”、“求通解”
注:零解是零向量,即xi 全为0的解。齐次方程至少有0解,因为代入恒成立。但是齐次方程也许有除了零解以外的解,也就是非零解,而且要有,就不是一个两个,而是无穷多个!这里的措辞是“有非零解”,不是“只有非零解”,注意下。而这无穷多个的表达式就是通解,它含有有限个任意常数!
Anxn 方形矩阵
|A| ≠ 0 == 只有0解
|A| = 0 == 有无穷多解,有非零解,不只有零解
记忆:|A|≠0,x 只好恒为0。|A|=0,那么 x 就可以非0。(如若证明,也好理解,|A|≠0时,A可逆,所以Ax=0左乘A-1,得x=0)
Ax=b 的解
(1)结构:非齐次方程的解,等于齐次方程通解 + 非齐次方程的一个特解(很像微分方程的解的结构)。
(2)解的情况/数量
A如果为长方形矩阵
r(A) ≠ r(A|b) == 无解
r(A) = r(A|b) =n == 有唯一解(因为方程数等于列秩,也就等于未知数个数,即一个方程可确定一个未知数。)
r(A) = r(A|b) <n == 有无穷多解,有非唯一的解,不只一个解,求通解(方程数少,能确定的未知数少,有不受约束可自由取值的自由变量。)
注:非齐次方程的无穷多解不包括唯一解,它对应于秩相等但不满的情况;而唯一解是秩相等且列满秩,多了一些方程(约束条件),所以这分明是两个方程组!
A如果为方形矩阵(克莱姆法则)
|A| ≠ 0 == 唯一解,xi = |Ai| / |A|,再把 xi 拼起来得到 x
|A| = 0 == 唯一解的对立事件(无解,或是无穷多解,此判断法失效!分别在原始矩阵中,代入使 |A|=0 的参数数值,化为阶梯型,用 r(A|b) 判断。此方法的好处是,代入数值后,化简更容易;弊端是如果有不同参数值,可能需要分别化简两个矩阵,而 Amxn 只需一次复杂的化简。)
记忆:|A|≠0,才能放分母上,才可克莱姆法则。
细谈一下克莱姆法则
{
一个线性方程组AX=b的系数行列式D不等于0;则它存在唯一组解x1=D1/D...........
(其中D1,D2.....Dx为系数行列式中将相应的x列替换成常数项)
}
六.
两个向量的点乘和叉乘
点乘直接认为是内积,计算时不考虑其他的,直接算每个对应值乘积最后算和;
叉乘属于计算法向量,具体计算结果很简单。
七.
已知矩阵正定,那么如果是三阶矩阵,就一层一层往下算,从左上角第一个开始算起来,然后计算左上角的第一个二阶矩阵,接着计算整个三阶矩阵(也可以认为是左上角开始看的第一个三阶矩阵,虽然就一个)
现在我得知这东西是一阶主子式这种叫法,不过就这么叫吧
八
伴随矩阵的行列式与矩阵自身行列式关系是:伴随矩阵的行列式为矩阵行列式的矩阵阶数减一次方。
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