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逆世混沌

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截止12/26为止,大约得知的比较干货的一些方法,仅适于做题

一.

矩阵的相似对角化:判断一个矩阵是否对角化

 1.观察矩阵,看是否是实对称矩阵,如果是,那么直接可以判断。

 2.判断矩阵的特征向量是否有重根,如果根有重复,那么看第三步,如果根无重复,那么就是可对角化。

 3.如果有重根,则将该重根作为特征值计算矩阵,得出最简矩阵,得到秩,用n减秩得到的值与重根的数相比较,即n-r=k。

以上基本是判断是否对角化的步骤。

二.
当遇到矩阵相似,则有:
1.迹相等,即对角相等。
2.行列式相等。
三.
一个矩阵的特征值可以把矩阵化成三角型,则对角即为特征值  
四.
如何判断两矩阵相似:
1、两者的秩相等。
2、两者的行列式值相等。
3、两者的迹数相等。
4、两者拥有同样的特征值,尽管相应的特征向量一般不同。
5、两者拥有同样的特征多项式。
6、两者拥有同样的初等因子。
7、若A与对角矩阵相似,则称A为可对角化矩阵,若n阶方阵A有n个线性无关的特征向量,则称A为单纯矩阵。
8、相似矩阵具有相同的可逆性,当它们可逆时,则它们的逆矩阵也相似。 
五.
AX=0;
首先看一看x=0及为一解,但我们肯定不会这么简单,我们所谈论的是x的非零解
A作为一个矩阵进行初等变换得到最简之后可以看出来秩,其非零解个数为n-r=k。
(其中n为矩阵的相应行或列元素数,r为秩的值,k为非零解的数)
(2)解的情况 / 数量:

Amxn 长方形矩阵(==表示前后条件等价,为充要条件可互推。)
r(A) = n == 只有0解,有唯一解
r(A) < n == 有无穷多解(包括0解、非零解),此时(齐次方程时)也可说“有非零解”、“不只有零解”、“求通解”
注:零解是零向量,即xi 全为0的解。齐次方程至少有0解,因为代入恒成立。但是齐次方程也许有除了零解以外的解,也就是非零解,而且要有,就不是一个两个,而是无穷多个!这里的措辞是“有非零解”,不是“只有非零解”,注意下。而这无穷多个的表达式就是通解,它含有有限个任意常数!
Anxn 方形矩阵
|A| ≠ 0 == 只有0解
|A| = 0 == 有无穷多解,有非零解,不只有零解
记忆:|A|≠0,x 只好恒为0。|A|=0,那么 x 就可以非0。(如若证明,也好理解,|A|≠0时,A可逆,所以Ax=0左乘A-1,得x=0)
Ax=b 的解
(1)结构:非齐次方程的解,等于齐次方程通解 + 非齐次方程的一个特解(很像微分方程的解的结构)。

(2)解的情况/数量

A如果为长方形矩阵
r(A) ≠ r(A|b) == 无解
r(A) = r(A|b) =n == 有唯一解(因为方程数等于列秩,也就等于未知数个数,即一个方程可确定一个未知数。)
r(A) = r(A|b) <n == 有无穷多解,有非唯一的解,不只一个解,求通解(方程数少,能确定的未知数少,有不受约束可自由取值的自由变量。)
注:非齐次方程的无穷多解不包括唯一解,它对应于秩相等但不满的情况;而唯一解是秩相等且列满秩,多了一些方程(约束条件),所以这分明是两个方程组!
A如果为方形矩阵(克莱姆法则)
|A| ≠ 0 == 唯一解,xi = |Ai| / |A|,再把 xi 拼起来得到 x
|A| = 0 == 唯一解的对立事件(无解,或是无穷多解,此判断法失效!分别在原始矩阵中,代入使 |A|=0 的参数数值,化为阶梯型,用 r(A|b) 判断。此方法的好处是,代入数值后,化简更容易;弊端是如果有不同参数值,可能需要分别化简两个矩阵,而 Amxn 只需一次复杂的化简。)
记忆:|A|≠0,才能放分母上,才可克莱姆法则。
细谈一下克莱姆法则
{
一个线性方程组AX=b的系数行列式D不等于0;则它存在唯一组解x1=D1/D...........
(其中D1,D2.....Dx为系数行列式中将相应的x列替换成常数项)
}
六.
两个向量的点乘和叉乘
点乘直接认为是内积,计算时不考虑其他的,直接算每个对应值乘积最后算和;
叉乘属于计算法向量,具体计算结果很简单。
七.
已知矩阵正定,那么如果是三阶矩阵,就一层一层往下算,从左上角第一个开始算起来,然后计算左上角的第一个二阶矩阵,接着计算整个三阶矩阵(也可以认为是左上角开始看的第一个三阶矩阵,虽然就一个)

现在我得知这东西是一阶主子式这种叫法,不过就这么叫吧

伴随矩阵的行列式与矩阵自身行列式关系是:伴随矩阵的行列式为矩阵行列式的矩阵阶数减一次方。

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  1. 1 狂迪 卢广仲
狂迪 - 卢广仲
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作词 : 卢广仲/討海人/黄少雍

作曲 : 卢广仲

在我眼前消失不见

今天的什么都不对

楼下的店听见熟悉的音乐

谁离开我谁爱着我

剩下一半的小火锅

别乱牵拖直到你出现

满天星光月亮出来了

神魂颠倒这是真的吗

管不住我自己的步伐

戒不掉你致命的魔法

谁教我蜿蜒的弹跳

谁教我崎岖的舞蹈

我爱你你知不知道

OH Dónde estás Bongria

想要见面有点抱歉

下午才跟你晚上约

请放轻松看着公园的落叶

摇摇晃晃我的形状

一边海洋一边天堂

你拉着我这一步叫做永远

满天星光月亮出来了

神魂颠倒这是真的吗

管不住我自己的步伐

戒不掉你致命的魔法

谁教我蜿蜒的弹跳

谁教我崎岖的舞蹈

我爱你你知不知道

OH Dónde estás Bongria

我丢掉太多的不必要

朝着有你的方向跑

跑到你眼前逗你笑

听到电影里的配乐响起

全场只为了等你说一句

说欸你要不要跟我一起

去教堂

Yes I do希望你也一样

先说好一起永保安康

每一天蜿蜒的弹跳

每一天崎岖的舞蹈

我爱你你知不知道 OH

如果爱我让我看见你

的脚